Скачать методичку по теплофизике

Далее идет текст из самой методички:

Министерство образования и науки Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Приоритетный национальный проект «Образование»
Инновационная образовательная программа
Санкт-Петербургского государственного политехнического
университета
В.П. ЮРКИНСКИЙ И.Б. СЛАДКОВ
ТЕПЛОФИЗИКА

В пособии системно излагаются основные закономерности молекулярного и конвективного тепло- и массопереноса, а также закономерности теплового излучения. В связи с анализом конвективных процессов изложены физические основы кинематики и гидроаэродинамики.
Учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по магистерским программам: «Обработка металлов давлением», «Порошковая металлургия, композиционные материалы и покрытия», «Металлургия черных и цветных металлов» и др. по направлению «150400 — «Металлургия» Оно может быть также использовано при обучении студентов подготовки по магистерским программам:: «Материаловедение наноматериалов и компонентов электронной техники»;«Методы получения и обработки металлических наноструктурных материалов» по направлению «150100 — «Материаловедение и технологии материалов», (а также в системах повышения квалификации, в учреждениях дополнительного профессионального образования и пр.)
Работа выполнена в рамках реализации Инновационной образовательной
программы Санкт-Петербургского государственного политехнического
университета «Развитие политехнической системы подготовки кадров в
инновационной среде науки и высокотехнологичных производств
Северо-Западного региона России».
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.
© Юркинский В.П.,Сладков И.Б. , 2012 © Санкт- Петербургский государственный ISBN политехнический университет, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 8
1. ВИДЫ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА 10
2. ЗАКОНЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И
ДИФФУЗИИ 20
2.1.Закон молекулярной теплопроводности 20
2.2. Закон молекулярной диффузии 25
2.3. Расчет коэффициентов переноса в газах методами
молекулярно-кинетической теории 28
3. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ 32
3.1. Методы изучения движения жидкости 33
3.2. Траектория и линия тока 37
3.3. Виды движения жидких частиц 39
3.4. Потенциальное и вихревое движение 48
4. ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКОСТИ 50
4.1 .Общие уравнения движения жидкости 50
4.1.1. Силы и напряжения, действующие в жидкости 50
4.1.2. Уравнение неразрывности 54
4.1.3. Уравнение движения жидкости в напряжениях…. 57
4.2. Уравнения движения реальной жидкости 59
4.2.1. Обобщенный закон Ньютона 59
4.2.2. Дифференциальные уравнения движения
реальной жидкости 61
4.3. Уравнения движения идеальной жидкости 64
4.3.1. Идеальная жидкость. Давление в идеальной
жидкости 64
4.3.2. Уравнения движения идеальной жидкости 65
4.3.3. Уравнение Бернулли 69
4.3.4. Определение потерь напора при стационарном
движении вязкой жидкости 74
4.3.5. Примеры применения уравнения Бернулли 75
5. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 79
5.1. Установившееся ламинарное движение вязкой
жидкости в цилиндрической трубе 80
5.2. Основы теории турбулентного движения 85
5.2.1. Турбулентное движение жидкости в гладкой
цилиндрической трубе 89
5.2.2. Влияние шероховатости стенки трубы на
коэффициент сопротивления 91
6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 96
6.1. Понятие о пограничном слое 96
6.2. Уравнения ламинарного пограничного слоя 97
6.3. Ламинарный пограничный слой при обтекании
тонкой плоской пластины в продольном направлении 103
6.4. Турбулентный пограничный слой при обтекании
плоской пластины 107
6.5. Отрыв пограничного слоя при обтекании
плохообтекаемых тел 111
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОД-НОСТИ И ДИФФУЗИИ 114
7.1. Дифференциальные уравнения молекулярной и
конвективной теплопроводности 114
7.2. Условия однозначности. Временные и граничные условия
для тепловой задачи 120
7.3. Дифференциальные уравнения молекулярной и
конвективной диффузии 124
8. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И
РАСТВОРЕННОГО ВЕЩЕСТВА 129
8.1. Стационарный перенос тепла через плоскую стенку 129
8.2. Стационарный перенос тепла через цилиндрическую
стенку 136
8.3. Стационарный перенос тепла в цилиндрическом стержне
при наличии теплообмена с окружающей средой 143
8.4. Стационарный теплоперенос в шаровой стенке
(полый шар) 147
8.5. Стационарный процесс диффузии 150
8.5.1. Плоская стенка 150
8.5.2. Цилиндрическая стенка 152
8.5.3. Испарение жидкой капли 153
9. ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ, ТЕПЛОВЫХ И
ДИФФУЗИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ 157
9.1. Понятие о подобии физических явлений 157
9.2. Теоремы подобия 163
9.3. Подобие гидродинамических явлений 165
9.4. Подобие тепловых явлений 174
9.4.1. Условие подобия температурных полей в твердых
телах 174
9.4.2. Условия подобия процессов конвективного тепло-обмена 179
9.5. Подобие диффузионных явлений 190
9.5.1. Условия подобия процессов диффузии в твердых
телах 190
9.5.2. Подобие процессов массообмена в условиях
вынужденной конвекции 191
10. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОД¬НОСТИ И ДИФФУЗИИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 194
10.1. Нестационарная теплопроводность в неограниченных.
телах 194
10.1.1. Неограниченная пластина 198
10.1.2. Сплошной неограниченный цилиндр 206
10.1.3. Сплошной шар 207
10.2. Двух- и трехмерные задачи нестационарной
теплопроводности 208
10.3. Регулярный режим нагрева и охлаждения тел 210
10.4 Нестационарная диффузия в полуограниченном твердом
теле 215
10.4.1. Диффузия из ограниченного источника 216
10.4.2. Диффузия из концентрационной ступени 219
10.4.3. Диффузия из постоянного источника 223
10.5 Нестационарная теплопроводность в полуограниченном
твердом теле 225
11. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛО- И МАССООБМЕН 227
11.1. Основные уравнения конвективного тепло- и массо¬обмена 227
11.2 Тепловой и диффузионный пограничные слои 233
11.2.1. Тепловой ламинарный пограничный слой 235
11.2.2. Диффузионный ламинарный пограничный слой 242
11.2.3. Связь между теплоотдачей и трением вязкостного
течения жидкости в пограничном слое 244
11.3. Теплообмен при обтекании поверхности пластины 247
11.3.1. Ламинарный пограничный слой 247
11.3.2. Турбулентный пограничный слой 249
11.4. Теплоотдача при течении жидкости в трубах 251
11.4.1. Теплоотдача при ламинарном режиме течения 254
11.4.2. Теплоотдача при турбулентном движении жидкости. 257
11.5. Теплообмен при поперечном обтекании труб 259
11.5.1. Теплообмен при поперечном обтекании одиночной
трубы 260
11.5.2. Поперечное обтекание пучка труб 264
11.6. Теплоотдача при естественной конвекции 269
11.7. Теплоотдача в жидких металлах 275
11.7.1. Теплообмен в условиях вынужденной конвекции 275
11.7.2. Теплообмен при свободной конвекции 276
11.8. Теплообмен при изменении агрегатного состояния
вещества 277
11.8.1. Теплоотдача при кипении жидкостей 277
11.8.2. Теплоотдача при конденсации 287
12. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ 290
12.1. Основные законы теплового излучения 294
12.2. Лучистый теплообмен между твердыми телами 299
12.2.1. Лучистый теплообмен между параллельными
пластинами 299
замкнутую систему 300
12.2.3. Экранирование тел 302
12.3 Лучистый теплообмен в газах 303
12.4. Особенности теплообмена излучением в металлургических печах 309
12.4.1. Теплообмен излучением в пламенных печах 310
12.4.2. Излучение пламени и карбюризация факела 313
12.5. Сложный теплообмен 317
Библиографический список 319
ВВЕДЕНИЕ
Теплофизика — базовая фундаментальная дисциплина, которая служит основой теплоэнергетического образования студентов и поможет им при изучении специальных технологических дисциплин, а так-же в их дальнейшей практической деятельности.
В современном технологическом производстве существенную роль играют процессы тепломассопереноса. Производство, к примеру, металлов и сплавов, их термическая и пластическая обработка, литейное и сварочное производство требуют постоянного научно-технического контроля и экономии тепловых и материальных ресурсов. Создание технологических агрегатов различного профиля и их практическая эксплуатация основаны на знании и использовании различных закономерностей теплопередачи и диффузии.
Технический прогресс в современной теплоэнергетике определяется в основном топливной экономичностью технологических агре-гатов и их экологической безопасностью.
Количество потребляемых в настоящее время в мире энерго-ресурсов огромно. К примеру, в 1994 г. мировое потребление раз-личных видов топлива составило 12277 млн. т, а в России соот-ветственно — 1438 млн. т (включая все виды топлива). Следует отме-тить, что в последние годы доля потребления нефти несколько сни-жается, а потребление угля и особенно газа растет. Теплотехника как наука окончательно сформировалась в Х1Хв. в эпоху промышленно-технической революции, которая была обусловлена массовым исполь-зованием тепловой энергии во всех сферах технического произ¬водства, в частности в металлургическом производстве. В настоящее время ситуация заметно изменилась, так как глобальное исполь¬зование энергоресурсов начинает серьезно влиять на экологическое состояние окружающей среды. Поэтому необходимо при создании новых технологических процессов и агрегатов, с учетом современных научных достижений в теплотехнике и закономерностей тепло-массопереноса, особое внимание уделить разработке экономичных технологий, обладающих экологической чистотой и безопасностью. Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся на факультетах теплотехнического профиля по направлению подготовки бакалавров и магистров «Техническая физика» и соответствует образовательному стандарту ФГОС ВПО дисциплинам направления бакалаврской подготовки:«Теплофизика» 150400 — «Металлургия» (цикл Б2) и «Процессы передачи энергии и переноса массы в технологии материалов» 150100 — «Материа-ловедение и технологии материалов» (цикл Б2.В). Пособие будет также полезным при подговке магистров теплотехнического профиля других специальностей.
Данное пособие должно формировать у студентов знания и умения на базе теоретических положений решать задачи по опре-делению основных характеристик тепломассопереноса при прове-дении исследований в области металлургии и нанотехнологий с целью использовать эти знания в своей дальнейшей практической деятельности.
Результаты изучения данной дисциплины используются при ос-воении дисциплин общего и профессионального цикла направления 150400 — «Металлургия» и направления 150100 — «Материаловедение и технологии материалов» по профилям подготовки «Материало¬ведение и технологии наноматериалов и наносистем» В учебном плане по данной дисциплине планируется выполнение двух контроль¬ных работ и расчетного задания с использованием дополнительно учебного пособия: «Теплотехника. Сборник задач по тепломассо¬обмену» /В.П.Юркинский и др. СПб.:Изд-во полит.унив-та, 2007.¬94с.
Авторы выражают благодарность за помощь при подготовке пособия к изданию канд.технич.наук Зайцеву В. А.
1. ВИДЫ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА
Теплота является универсальной формой энергии, возникающей в результате теплового движения различных микрочастиц (молекул, атомов и электронов). При этом любая другая форма энергии (меха-ническая, химическая, электрическая и др.) частично или полностью переходят в тепловую форму энергии (теплоту) и превращаются в тепловое движение микрочастиц. Различные тела могут обмениваться энергией в форме теплоты.
Теплообмен (теплопередача) — это самопроизвольный необра-тимый процесс переноса тепловой энергии в пространстве с неодно-родным температурным полем.
Теплопередача может осуществляться в трех различных формах: молекулярная теплопроводность (иначе теплопроводность), конвек-тивная теплопроводность (конвекция) и теплопередача излучением (лучистый теплообмен).
Молекулярная теплопроводность (или теплопроводность)
характеризуется переносом тепловой энергии (тепла) с помощью микрочастиц (молекул, атомов и др.) в процессе их теплового хаоти-ческого движения в среде с неоднородным температурным полем. Эта форма теплообмена имеет место в средах с различным агрегатным состоянием и является единственно возможной формой теплопро-водности в случае твердых тел.
Конвективная теплопроводность (или конвекция) — это мак-роскопический процесс переноса тепла вместе с конечными массами движущейся жидкости или газа при наличии в среде неоднородного температурного поля. Данная форма теплопередачи имеет место только в движущейся среде. Наличие неоднородного распределения температуры в среде предполагает, что одновременно с конвективной теплопроводностью будет иметь место и молекулярная теплопро-водность, причем количественное соотношение между двумя форма¬ми теплопереноса зависит от характера гидродинамики потока жид¬кости и природы среды.
Теплопередача излучением характеризуется тем, что часть внут-ренней энергии нагретого тела в виде электромагнитных волн пере-дается менее нагретым телам и, превращаясь в тепловую энергию, нагревает эти тела.
Реально при рассмотрении различных тепловых процессов в пе-редаче тепловой энергии в той или иной степени могут участвовать все виды теплообмена, этот процесс называют сложным теплооб-меном.
Независимо от механизма теплопереноса, тепловой поток всегда направлен из области среды с более высокой температурой к области менее нагретой, поэтому, как отмечалось выше, процесс теплопере-дачи является необратимым.
Массоперенос возникает в среде (растворе или смеси) при нали-чии неоднородного поля концентрации веществ, которые являются составными компонентами данной среды. Происходит процесс пере-носа массы вещества из области с более высокой концентрацией в область более низких ее значений. Процесс массопереноса иначе при-нято называть диффузией.
Механизм массопереноса веществ в средах с различным агрегат-ным состоянием аналогичен процессу теплопереноса, вследствие чего эти два разных физических процесса рассматриваются одновременно.
Массопередача (диффузия) — самопроизвольный необратимый процесс переноса массы вещества в среде с неоднородным полем кон-центрации, который по аналогии с теплопереносом может осущест-вляться в двух формах: молекулярной и конвективной диффузии.
Молекулярная диффузия характеризуется переносом микрочас-тиц (молекулы, атомы или заряженные ионы) в процессе их хаотичес-кого теплового движения в среде с неоднородным полем концентра-ции. Данная форма массопереноса имеет место во всех агрегатных состояниях среды и является единственно возможной в твердых телах.
Конвективная диффузия — макроскопический процесс переноса растворенного вещества вместе с массами движущейся среды (жид-кости или газа) при наличии в среде неоднородного поля концен-трации данного вещества. Эта форма диффузии наблюдается только в движущейся среде. Как и в случае теплопроводности, массоперенос вещества в потоке жидкости всегда обусловлен одновременным протеканием молекулярной и конвективной диффузии, причем обыч¬но преобладает конвективная диффузия.
При выводе закономерностей тепломассопереса принято эти про-цессы рассматривать как макроскопические, которые протекают в объеме сплошной среды, имеющей геометрические размеры, значи-тельно превосходящие характерные молекулярные размеры (ампли-туда колебаний молекул в жидкости или длина свободного пробега молекул в газе). Условие сплошной среды выполняется и при рас-смотрении элементарного объема, если его геометрические размеры заметно больше в сравнении с молекулярными величинами. В таком же смысле нужно понимать и используемые в гидромеханике понятия «жидкая частица» или «точка в жидкости». Под этими терминами подразумевается понятие элементарного объема.
Модель сплошной среды позволяет представлять все величины, характеризующие процессы тепломассопереноса как непрерывные функции координат пространства, в котором протекают изучаемые процессы.
Рассмотрим особенности конвективной теплопроводности и диффузии. Принято различать конвекцию вынужденную и свобод¬ную.
Вынужденная конвекция обусловлена потоком жидкости, появ-ление которого вызвано действием каких-либо внешних сил (мешал¬ка, вентилятор и т. п.).
Свободная (или естественная) конвекция возникает при нали-чии в среде неоднородного поля плотности, которое обычно опреде-ляется неоднородностью температурного или концентрационного полей. При этом наблюдается неоднородность гравитационных сил. Так, вблизи нагретой вертикальной стенки (рис. 1.1), возникает поток жидкости, обусловленный различием ее плотностей (р0-рт) вслед¬ствие перепада температур АТ = Т — Т0 у поверхности стенки и вдали от нее:
Ро = Ро , (1.1)
расширения жидкости, р и р0 — плотности нагретой и холодной жид-кости.
Возникающая подъемная сила в расчете на единицу массы нагре-
2
той жидкости (м/с ), с учетом уравнения (1.1), составит:
Для жидкостей температурный коэффициент расширения нахо-дится в пределах (0,5-20)^10_5, а в случае газов, соответственно, (3-4>10_ 3 1/К.
Под действием внешнего давления жидкости и газы подвергают¬ся жатию. Количественно сжимаемость определяется коэффициентом объемного сжатия в
Для жидкостей величина коэффициента сжимаемости составляет: = (3-8)40-9 1/Па, следовательно, их сжимаемость очень мала.
Сжимаемость газов заметно выше. Так, в случае воздуха коэффи-циент объемного сжатия ~ 10_5 1/Па, т. е. на четыре порядка превы-шает сжимаемость жидкостей. С учетом значений принято делить жидкости и газы на сжимаемые и несжимаемые.
К несжимаемым относят жидкости, а также газы при достаточно низких скоростях потока. При этом для оценки сжимаемости газа пользуются значением числа Маха (М), которое представляет собой отношение скорости потока газа и скорости звука в данной среде:
М = , где и — скорость потока и азв — скорость звука. К примеру,
азв
скорость звука в воздухе составляет 340 м/с при Т = 288 К. С ростом М сжимаемость газа увеличивается и становится значительной при околозвуковых скоростях в потоке.
При движении жидкости между отдельными ее слоями появля-ются силы внутреннего трения (сила сопротивления), обусловленные вязкостью жидкости.
Рассмотрим обтекание плоской поверхности твердого тела пото-ком жидкости (рис. 1.2).
Тонкий слой жидкости, соприкасающийся с поверхностью непод-вижной пластины, имеет скорость ипов = 0. За счет возникающих меж-ду слоями жидкости сил внутреннего трения верхний слой, сопри-
касающийся с ним и имеющий более высокую скорость, пытается сдвинуть или ускорить медленный нижний слой, который в свою очередь стремится затормозить более быстрый верхний слой. Анало-гичные взаимодействия будут иметь место между любыми соприка-сающимися слоями потока жидкости.
потоком жидкости поверхности твердого тела. т2Х — касательные напряжения силы трения между слоями жидкости При этом в сечении потока устанавливается профиль скоростного поля, показанный на рис. 1.2, и происходит угловая деформация жид¬ких частиц.
Величина напряжения силы трения описывается эмпирическим законом Ньютона:
¿2 йп
В соответствии с законом Ньютона касательные напряжения силы трения, возникающие между слоями прямолинейно движу-щейся жидкости, пропорциональны производной от скорости по нормали к направлению потока, или иначе градиенту скорости.
Жидкости, подчиняющиеся закону Ньютона, принято называть ньютоновскими жидкостями. Соответственно жидкости, которые не подчиняются закону Ньютона, называют неньютоновскими. При-мером таких жидкостей служат коллоидные растворы, мазут и ряд минеральных масел при низких температурах, а также жидкие метал-лы вблизи температуры замерзания.
Коэффициент пропорциональности в уравнении (1.3) g называют коэффициентом динамической вязкости. Он численно равен силе трения, отнесенной к единице поверхности, при grad и = 1 [c-1]. g характеризует вязкость жидкости и является физической кон-стантой. Размерность g в системе СИ следующая:
г т [т] H/м2 Н с кг
[g] = г i = = ^Г =— = Па • с.
[du/ dn] м/с-м м2 м-с
Соответственно за единицу динамической вязкости принимают вели- Н с , кг
чину 1—- = 1— = 1Па — с. м2 м-с
Ранее в системе CGS за единицу динамической вязкости прини-
г Н-с
мали 1 пуаз (1П): 1П = 1 и 1-— = 1Па — с = 10П.
см-с м2
Часто для характеристики вязкости жидкости пользуются также величиной коэффициента кинематической вязкости V, который представляет собой отношение динамического коэффициента вязкос¬ти к плотности жидкости р: v = g (1.4)
Р
Размерность коэффициента кинематической вязкости в системе СИ:
Ы
/ 2
= кг м с = , а в системе CGS v выражается в стоксах (Ст):
Lj [р] кг/м3 с
1 Ст = 1 см2/с = 10_ 4 м2/с.
Вязкость газов
Согласно упрощенному рассмотрению в молекулярно-кинетичес-кой теории газов (без учета межмолекулярного взаимодействия) для коэффициента динамической вязкости идеального газа получено вы-ражение:
ц = 1 пр1, (15)

где С — постоянная, зависящая от природы газа.
Вязкость жидкостей
Для жидкостей опытным путем установлено, что с ростом темпе-ратуры вязкость уменьшается. Для оценки вязкости можно восполь-зоваться эмпирической формулой Бачинского.
С
V — У
где С — постоянная, зависящая от природы жидкости; У0 — минималь-ный удельный объем при максимальном сжатии жидкости и У — удельный объем жидкости при данных значениях температуры и давления. С ростом температуры объем увеличивается, следователь¬но, вязкость жидкости убывает, а от давления вязкость жидкостей зависит в меньшей степени ввиду низкого значения коэффициента объемного сжатия РУ. При этом следует отметить, что влияние на вязкость жидкости давления различно в зависимости от природы жидкости. Чем сложнее молекулярное строение жидкости, тем значи¬тельнее это влияние.
В таблице 1.1 приведены оценочные значения этой зависимости для некоторых жидкостей в виде отношения вязкостей при давлениях р ~ 0 и 12 000 кг/см2, Т = 303 К.
Т а б л и ц а 1.1
Влияние давления на вязкость жидкостей
Вещество Ртуть Вода Этиловый
спирт Изоамиловый
спирт Эугенол
ц12000 /ц0 ~1,3 ~2,4 ~10 ~1000 ~107

В настоящее время предложен ряд теории строения жидкостей, с помощью которых можно оценить вязкость жидкостей. Так, Френ-келем была постулирована так называемая «дырочная» теория жид-кости, на основе которой Фюрт получил следующую формулу для расчета вязкости жидкостей:
где г, т — радиус и масса частиц; п — число частиц в единице объема; и — энергия активации, определяющая элементарные перемещения частиц и образование при этом «дырок» в жидкости; С — постоянная, которая включает величины, независящие от температуры.
Т а б л и ц а 1.2
Вязкость различных жидкостей и газов
Вещество ц 103, Н с/м2 (Па с) V 106, м2/с
Вода 1,0 1,0
Г лицерин 1008 800
Керосин 2,05 2,5
Бензол 0,65 0,74
Ртуть 1,55 0,11
Воздух 0,018 15,0
Азот 0,017 13,6
Из формулы (1.10) следует, что с ростом температуры вязкость жидкостей убывает. Примеры значений коэффициентов вязкости для ряда жидкостей и газов приведены в таблице 1.2 (Т =293 К).
Как следует из представленных данных, вязкость жидкостей в зависимости от природы меняется в широких пределах, а вязкость газов близка по величине и значительно ниже в сравнении с жид-костями.
2. ЗАКОНЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ
2.1. ЗАКОН МОЛЕКУЛЯРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Молекулярная теплопроводность имеет место в неподвижной среде (причем в чистом виде она наблюдается только в твердых телах). Закон молекулярного теплопереноса эмпирическим путем был установлен Фурье.
Я _-Х — _-Х §гаёТ, (2.1)
дп
где я — вектор плотности теплового потока (представляет собой поток тепла, проходящий через единицу поверхности за единицу времени), [Дж/(м ■ с) или Вт/м ]; к — коэффициент молекулярной теплопроводности, который характеризует теплопроводность среды и является физической константой. Количественно X определяет теп-ловой поток (Вт), проходящий через единицу поверхности (м2) при единичном градиенте температуры (К/м) и имеет следующую размер-ность:
Джм _ Дж _ Вт м2 с К м с К м К
В соответствии с законом Фурье плотность теплового по-тока пропорциональна градиенту температуры.
Знак << — >> показывает, что вектор теплового потока направлен противоположно относительно градиента температуры.
Коэффициент теплопроводности зависит от природы вещества, температуры и ряда других факторов. Сопоставление значений теп-лопроводности различных материалов показывает, что максимальной теплопроводностью обладают металлы и их сплавы, а минимальной — газы.
Теплопроводность газов
Теплопроводность газов находится в пределах 5-10 -0,1 Вт/мК.
В соответствии с молекулярно-кинетическои теорией газов для коэффициента теплопроводности идеальных газов получено выраже-ние:
1 — 1/3 puCV~i , (2.2)
где CV — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. В слу¬чае идеального газа CV= const, поэтому 1 зависит от температуры и давления аналогично динамической вязкости ц.
Следовательно, теплопроводность газов не зависит от давления и растет с увеличением температуры.
Т а б л и ц а 2.1
Значения эмпирических коэффициентов в уравнении (2.3) для
ряда газов
Газы 10 103, Вт/(мК) П c 105 m
Азот 24,19 0,80 1,933 1,23
Аргон 16,51 0,80 0,751 1,26
Водород 172,12 0,78 34,31 1,16
Гелий 142,58 0,73 18,41 1,17
Диоксид углерода 14,89 1,23 1,005 1,26
Кислород 24,54 0,87 1,449 1,24
Для реальных газов коэффициент теплопроводности можно рас-считать по двум формулам:
П
или 1 —10 + cpm.
где X = Х0 при Т0 = 273 К; с, п, т — эмпирические коэффициенты, за-висящие от природы газа. Значения Х0, с, п и т для ряда газов при-ведены в таблице 2.1. Как следует из приведенных данных, макси-мальной теплопроводностью обладают водород и гелий.
Теплопроводность жидкостей
Теплопроводность жидкостей находится в пределах 0,08-1,0 Вт/(мК) и уменьшается с ростом температуры. Исключение состав-ляют вода и глицерин, для которых наблюдается обратная зависи¬
мость. Для ряда жидкос-

энергией при соударении атомов в процессе их колебательного движения.
Наличие в металлах примесей и дефектов решетки вызывает умень-шение электронной проводимости, что приводит к снижению их теплопроводности. Этим объясняется более низкая теплопроводность сплавов в сравнении с чистыми металлами. В соответствии с эмпи-рическим законом Видемана-Франца отношение теплопроводности
и удельной электропроводимости чистых металлов определяется фор-мулой:
где х — удельная электропроводимость [См/м, См — Сименс (1/Ом)]. Температурная зависимость теплопро¬водности ряда металлов представлена на рис. 2.2.
Максимальной теплопроводностью об¬ладают серебро, медь и алюминий.
0 100 200 J00 400 Ту0с
Рис. 2.2. Зависимость коэф-
К теплоизоляционным относят мате- фициента теплопроводности
риалы, обладающие достаточно низ- от температуры для ряда ким коэффициентом теплопроводное- металлов: 1 — свинец; 2 — же- ти, который для них находится в пре- лезо> 3 — цинк; 4 — магний; делах 0,005-3,0 Вт/(м-К). 5 » а™0™1™
В качестве теплоизоляции могут использоваться неорганические (асбест, шлаки, глина, песок и др.), органические (шерсть, хлопок, дерево, резина, кожа и т.д.) или смешанные материалы, включающие неорганические и органические вещества, а также газы.
Органические материалы обычно используют при температурах, не превышающих 150 0С. В области более высоких температур при-меняют различные неорганические материалы.
Теплопроводность теплоизоляционных материалов с ростом темпера-туры увеличивается и заметно зависит от их пористости и влаж¬ности.
Объясняется это тем, что поры материала заполнены воздухом и влагой, теплопроводность которых увеличивается с ростом темпера-туры.
Теплопроводность пористого материала значительно ниже в сравнении со сплошными материалами, поэтому увеличение порис-тости способствует снижению теплопроводности материала. Зави-симость теплопроводности ряда теплоизоляционных материалов от температуры приведена на рис. 2.3 Для оценки теплопроводности
материала кроме X часто поль¬зуются коэффициентом тем-пературопроводности а.
X
а =
температуропроводности.
совпадает с размерностью кинематического коэффициента вязкости V [см. формулу (1.4)].
2. 2. ЗАКОН МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИФФУЗИИ
Как и в случае теплопроводности, молекулярная диффузия имеет место в неподвижной среде (причем в чистом виде она также наблюдается только в твердых телах).
В основе теории молекулярной диффузии лежит эмпирический закон Фика:
j = -В— _-0&айС, (2.6)
йп
здесь у — вектор плотности диффузионного потока (кг/м •с) [или удельная скорость молекулярной диффузии]; С -концентрация диф-фундирующего вещества (кг/м3); В — коэффициент молекулярной диффузии, размерность которого совпадает с размерностью ранее рассмотренных коэффициентов кинематической вязкости V и темпе-ратуропроводности а.
кг / кг _ м2
2^3 _
м см м с
В соответствии с законом Фика плотность диффузионного потока пропорциональна градиенту концентрации диффундирую-щего вещества.
Коэффициент диффузии В определяет массу вещества, перено-симую в процессе диффузии за единицу времени (т.е. скорость диф-фузии) через единицу поверхности при единичном градиенте кон-центрации.
В случае идеальных газов в кинетической теории газов для коэф-фициента самодиффузии (диффузия в чистом газе собственных моле-кул) получено следующее уравнение:
0_1Ш. (2.7)
3
где В0 = В (при Т0 = 273 К и р0 = 1 атм), из которого следует, что коэффициент диффузии газов растет с увеличением температуры и уменьшается с ростом давления.
В случае реальных газов для оценки коэффициента диффузии ис-пользуют уравнение, аналогичное равенству (2.8):
в котором показатель степени п = 1,5 — 2,0 зависит от природы газа. Значения коэффициентов В0 и п в уравнении (2.9) для ряда паров и газов приведены в таблице 2.2.
Из данных таблицы 2.2 следует, что значения коэффициентов диффузии газов находятся в пределах 10 — 10 м/с.
В случае смесей газов при невысоких давлениях (смесь идеальных газов) средний расчетный коэффициент диффузии компонентов смеси находят по закону аддитивности: Всм= Е Вх , где х — мольная доля компонента в смеси.
Для жидкостей и твердых растворов температурная зависимость коэффициентов диффузии определяется экспоненциальным уравне-нием:
здесь В0 = В при Т = да; иВ — энергия активации процесса диффузии (кДж/моль).
Согласно уравнению (2.10) коэффициент диффузии в жидкостях и твердых телах очень заметно растет с увеличением температуры. Порядок величин коэффициентов диффузии в жидкостях составляет 10 _ 10 — 10 _ 9, а в твердых телах, соответственно, 10 _ 19 — 10 _ 12 м2/с.
Вещество Среда В0 105, м2/с п
О2 Воздух 1,78 1,75
СО2 Воздух 1,38 2,0
Н2 Воздух 6,34 2,0
Н2О Воздух 2,2 1,75
СН4 (метан) Воздух 1,96 2,0
Этиловый спирт Воздух 1,02 2,0
Бензол Воздух 7,70 2,0
МН3 (аммиак) Воздух 1,97 1,81
СО О2 1,85 1,75
Т а б л и ц а 2.2
Значения коэффициентов Во и п в уравнении (2.9) для ряда паров и
газов

*
здесь В0 — коэффициент диффузии в разбавленном (идеальном) раст-воре; у — коэффициент активности растворенного вещества.
Способностью к диффузии обладают не только элементарные частицы (молекулы, атомы или ионы), образующие истинные раство-ры, но и нерастворимые в жидкости взвешенные частицы, если они участвуют в хаотическом броуновском движении (коллоидные раст-воры). Коэффициент диффузии таких частиц можно определить с помо-щью формулы Стокса-Эйнштейна:
В = -Т- , (2.12)
6пц г
где к — постоянная Больцмана; ц — коэффициент динамической вяз-кости и г — радиус диффундирующей частицы.
2.3. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ МЕТОДАМИ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Рассмотренные ранее коэффициенты вязкости (ц, V), теплопро-водности (X, а) и диффузии (П) носят название коэффициентов пере-носа.
В случае газов эти коэффициенты можно рассчитать, используя методы молекулярнокинетической теории.
Согласно упрощенному рассмотрению (без учета межмолекуляр-ного взаимодействия) в так называемой элементарной молекулярно-кинетической теории для идеального газа были получены формулы (1.5), (2.2) и (2.7) для оценки коэффициентов переноса, которые позволили качественно правильно оценить влияние температуры и давления на коэффициенты переноса, но количественный расчет в данном случае невозможен из-за больших допущений, сделанных при их выводе.
Так, для коэффициента динамической вязкости в соответствии с формулами (1.5) — (1.7) получим равенство:
в котором const включает все постоянные величины; М — молеку¬лярная масса и о — эффективный диаметр молекул данного газа.
Более строгое рассмотрение молекулярнокинетической теории, в которой учитывается межмолекулярное взаимодействие, позволило уточнить формулу (2.13) путем введения поправочного множителя ^, который называется интегралом столкновений. Для вычисления этого интеграла необходимо знать функцию, которая описывает энер-гию парного взаимодействия молекул. Вид указанной функции приве-ден на рис. 2.4.
При сближении двух атомов или молекул между ними начинают действовать силы притяжения и отталкивания.

Рис. 2.4. Вид функции межмолекулярного парного взаимодействия.
Причем сначала преобладают силы притяжения, что соответ-ствует отрицательным значениям потенциальной энергии (и) до зна-чения г = о, а далее на более близких расстояниях — преобладают силы отталкивания, что отвечает области положительных значений энергии и. На оси абсцисс можно выделить два характерных размера: г0 — равновесное расстояние между молекулами, отвечающее мини¬муму потенциальной энергии, и о — минимальное расстояние, на кото¬рое могут сблизиться молекулы, называемое эффективным диамет¬ром молекул. Важным характеристическим параметром потенциаль¬ной энергии является величина £, которая определяет максимальную энергию притяжения.
Конкретный вид функции, отражающей кривую и = / (г), на-зывается потенциалом межмолекулярного взаимодействия, а о и £ являются параметрами межмолекулярного взаимодействия. При этом £ выражают в долях постоянной Больцмана к = 1,38-10 _23 Дж/К:
£1= Дж = К.
_ к _ Дж/К
Принято кривую потенциальной энергии и = /(г) выражать так называемым потенциалом Леннард-Джонса:
V г
Формула (2.14) лежит в основе расчета интеграла столкновений О.
Учитывая уравнение (2.13) и используя интеграл столкновений, в молекулярнокинетической теории для коэффициента динамической вязкости получаем уточненную формулу:
ц = 266,9 ■ 10-‘0^ТМ , (2.15)
О 2Ои
где ц (Па-с), О (нм) и М (г/моль).
Аналогичным образом, с учетом формул (2.2), (1.6) — (1.7) и с использованием интеграла столкновений О, для коэффициента тепло-проводности получено равенство:
здесь 1 [Вт /(м-К)].
Так же, имея в виду равенства (2.6), (1.6) — (1.7) и с учетом интеграла столкновений О, получаем формулу для расчета коэффи-циентов диффузии:
Б = 1,8826-10“УТ 2 ™12 , м2/с, (2.17)
ро12^Б
где ОБ -интеграл столкновений для диффузии.
Так как в процессе диффузии участвуют разнородные молекулы (сре-ды и диффундирующие молекулы), то параметры межмолекулярного взаимодействия в этом случае рассчитываются следующим образом:
О = °1+О2. е,2 =7^; м = МиМ^ (2.18)
012 = 2 ’ 12 м, + м2
Т а б л и ц а 2.3
Параметры потенциала Леннард- Джонса
Вещество О, НМ 8/к, K Вещество О, НМ 8/к, K
Аг 0,3542 93,3 Xe 0,4047 231,0
Н2 0,2970 33,0 Ш4 0,3790 142,1
Не 0,2551 10,2 га 0,3690 91,7
Кг 0,3655 178,9 га2 0,3941 195,2
N2 0,3798 71,4 H20 0,2710 506,0
Не 0,2820 32,8 Воздух 0,3689 84,0
02 0,3467 106,7 — — —
Т а б л и ц а 2.4
Значения интегралов столкновений
т
8 / к Для
диффузии Для
вязкости и теплопро-водности
^и т
8 / к Для
диффузии Для
вязкости и теплопро-водности
0,и
0,30 2,662 2,785 1,40 1,233 1,353
0,35 2,476 2,628 1,50 1,198 1,314
0,40 2,318 2,492 1,60 1,167 1,279
0,45 2,184 2,368 1,70 1,140 1,248
0,50 2,066 2,257 1,80 1,116 1,221
0,55 1,966 2,156 1,90 1,094 1,197
0,60 1,877 2,065 2,00 1,075 1,175
0,65 1,798 1,982 2,20 1,041 1,138
0,70 1,729 1,908 2,40 1,012 1,107
0,75 1,667 1,841 2,60 0,9878 1,081
0,80 1,612 1,780 2,80 0,9672 1,058
0,85 1,562 1,725 3,00 0,9490 1,039
0,90 1,517 1,675 3,50 0,9120 0,9999
0,95 1,476 1,627 4,00 0,8836 0,9700
1,00 1,439 1,587 5,00 0,8422 0,9269
Параметры потенциала Леннард-Джонса для ряда газов приве-дены в таблице 2.3, а значения интегралов столкновения для вязкости, теплопроводности Ци и диффузии Ц» представлены в таблице 2.4.
В таблице 2.5 в качестве примера приведены значения коэффи-циентов теплопроводности, определенные экспериментально и путем расчета по формуле (2.16). Сравнение этих данных указывает на их удовлетворительное совпадение.
Т а б л и ц а 2.5
Сравнение коэффициентов теплопроводности различных газов
Газ (Т = 273 К) Коэффициент теплопроводности X, Вт/(м-К)
расчет эксперимент
Не 0,1470 0,1425
N0 0,0464 0,0457
Аг 0,01645 0,01635
Кг 0,00863 0,00795
Хе 0,00503 0,00515
Н2 0,1625 0,1690
02 0,0238 0,0244
С02 0,01445 0,01505
N0 0,0236 0,0238
3. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
Ранее при рассмотрении процессов конвективной теплопровод-ности и диффузии, которые протекают в движущейся жидкости, было отмечено, что величина теплового или диффузионного потока сущес-твенным образом зависит от гидродинамических параметров потока жидкости. Поэтому далее рассмотрим основные разделы гидромеха- ки жидкости: кинематику и гидродинамику , определяющие основные закономерности движения жидкости и газа.
Раздел гидромеханики, в котором изучаются общие параметры движения жидкости, без учета сил, определяющих это движение, на-
зывается кинематикой жидкости.
Кинематика жидкости отличается от кинематики твердого тела рядом особенностей, связанных с деформацией и способностью пере-мещений частиц жидкости.
3.1. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Используют два метода изучения параметров движения жидкос¬ти: методы Лагранжа и Эйлера.
В методе Лагранжа изучают движение отдельных частиц жид-кости, исследуя их траектории. Исходное положение каждой частицы определяется ее начальными координатами: х0, у0, х0 при г = г0 (г = 0).
В процессе движения пространственное положение частиц можно определить радиусом-вектором г или его координатами: х, у, 7 как функцию начальных координат частицы и времени:
г_г Уo, хл);
х=х (хо> Уo, 2о>^)
У = У (хо> Уo, 20,‘
х х (хо>Уo,)
Совокупность переменных х0, у0, г0, I называют переменными Лагранжа.
Скорости и и ускорения Ж отдельных частиц жидкости опреде-ляют путем дифференцирования уравнений (3.1) и (3.2) по времени при постоянстве координат х0, у0, х0:
У=<Т = Эг1Хс,Уд,Хд,0.
дг дг ’
^ =дх _дх(х0,У0,^).

^ = Эи = Э ^ (Х0. ур. ^о,г)
г Эг Эг2
Производные, вычисляемые в переменных Лагранжа, принято на-зывать индивидуальными или субстанциональными, так как они от-носятся к определенным частицам жидкости (субстанция) и не свя-заны с геометрическим пространством, в котором исследуется поток жидкости.
Метод Лагранжа позволяет получить подробное описание дви-жения жидкости, что удобно при теоретическом рассмотрении раз-личных закономерностей гидромеханики жидкостей, но для решения практических задач он достаточно сложен и громоздок, поэтому им пользуются крайне редко. Для рассмотрения практических задач более удобен метод Эйлера.
В методе Эйлера используют пространственное описание дви-жения жидкости. Объектом экспериментального изучения в данном случае служит скорость частиц, которые во времени проходят через определенные точки пространства, где исследуется поток жидкости.
Зависимость скоростей в потоке жидкости от координат точек пространства и времени представляется уравнениями:
и = и(х, у, 2,г); и =Ух (х, у, 2,г); и у = и у (х, у, 2,г) и =ь2 (х, у, 2,г)
где х, у, 2, г — переменные Эйлера. Величины х, у, 2 в методах Лаг-ранжа и Эйлера имеют разный смысл. В методе Лагранжа — это переменные координаты движущейся частицы жидкости, а в методе Эйлера — координаты неподвижных точек пространства, в котором движутся частицы жидкости.
Уравнения (3.4) описывают поле скоростей в потоке жидкости. Если скорости меняются во времени, то движение является неста-ционарным, а в случае, если скоростное поле во времени неизменно, движение жидкости стационарное (или установившееся).
Так как скорость в общем случае является функцией координат и времени, то для определения ускорений Ж в методе Эйлера необхо-димо уравнения (3.4) дифференцировать по времени, рассматривая скорость как сложную функцию с учетом зависимости координат от времени:
Эи Эи &х Эи &у Эи &2
— + + — + ,
Эг Эх &г Эу &г Э2 &г
ризует изменение скорости в данной точке пространства, а после-дующие три производные обусловлены изменением скорости частицы с учетом изменения координат в процессе ее перемещения. Про-изводные от координат по времени определяют составляющие векто¬ра скорости:
Следовательно, для определения вектора ускорения и его состав-ляющих получим уравнения:
dt dt
Используя символический дифференциальный «набла-вектор», или оператор Гамильтона V:
(3.8)
уравнения (3.7) можно в более упрощенной форме представить следу-ющим образом:
dv dv
3.2. ТРАЕКТОРИЯ И ЛИНИЯ ТОКА
При изучении движения жидкости методом Лагранжа геометрия потока характеризуется траекториями частиц, которые в этом случае определяются экспериментально.
Траектория — это линия, вдоль которой движутся частицы жидкости в пространстве. В методе Эйлера экспериментально изучается скоростное поле в потоке жидкости и для характеристики его геометрии пользуются линиями тока.
Линией тока служит кривая, в каждой точке которой в данный мо¬мент времени вектор скорости нап¬равлен по касательной (рис .3.1). в разные моменты времени (^ ¿2, ^3), а линия тока (кривая В) характеризуется положением различных частиц (А1, А2, А3) в момент времени ^.
Очевидно, в общем случае траектрии и линии тока не совпадают.
Дифференциальное уравнение линии тока в векторной форме можно получить с учетом совпадения элемента касательной Лт (точка А2) с направлением вектора скорости в этой точке:
Лтхь = 0. (3.10)
В координатной форме уравнение (3.10) принимает вид:
Лх _ Лу _ Лг (3 11)
гх(х,у,^) иу(х,у,гу) (х,у,г,{)
В случае стационарного движения уравнение (3.11) упрощается (скорость не зависит от времени):
их(х,У,г) иу (х,у,г) (х,у,г)
В стационарном потоке жидкости линии тока и траектории совпадают и во времени сохраняют неизменное положение.
В случае нестационарного движения они не совпадают и непре-рывно во времени меняются.
рых позволяет найти семейство линий тока, причем положение кон-кретной линии тока определяется значениями постоянных с1 и с2.
Изображение совокупности линий тока позволяет наглядно опи-сать особенности потока жидкости (рис. 3.2).
Геометрию векторного поля помимо векторных линий принято характеризовать также с помощью векторных трубок.
В случае рассматриваемого поля вектора скорости — трубка тока.
Трубку тока можно полуить, если в потоке жидкости выделить замкнутый контур Ь (рис. 3.3) и через все его точки провести в данный момент времени линии тока, которые образуют при этом замкнутую поверхность тока.
Часть жидкости, ограниченная поверхностью тока, составляет трубку тока (рис. 3.3, а). В случае элементарного контура dL получим элементарную трубку тока (рис. 3.3, б).
По определению линии тока вектор скорости в любой ее точке направлен по касательной, поэтому нормальная составляющая ско-рости равна нулю и через поверхность тока протекания жидкости не происходит.
Следовательно, объемный расход несжимаемой жидкости Q,
о
м /с через любое поперечное сечение трубки тока постоянен.
Объемный расход несжимаемой жидкости можно определить по-током вектора скорости через сечение трубки тока S (рис. 3.3) сле-дующим образом:
Q = \vndS = \v-ndS = const. (3.14)
S S
3.3. ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКИХ ЧАСТИЦ
Выделим в движущейся жидкости элементарную частицу и рас-смотрим изменение скорости в ее пределах в определенный момент времени (рис. 3.4). В общем случае скорость в различных ее точках будет не одинакова.

Рис. 3.4. Изменение скорости в пределах жидкой частицы
Пусть скорость в произвольно выбранной точке Мо, определя-емой радиусом- вектором то, равна ио. Тогда для любой другой точки М (г0 + Ьт), находящейся в окрестности точки Мо, скорость и (если она является непрерывной функцией координат) можно выразить че¬рез скорость ио с учетом приращения скорости Ьи (см. рис .3.4), обу¬словленного изменением координат.
Для этой цели разложим составляющие вектора скорости и в ряд Тейлора:
Так как рассматривается элементарная частица и приращение коорди¬нат очень малы, можно пренебречь всеми членами второго и более высокого порядка малости:
или в векторной форме:
Ц-Ц +(Ьт•V)u. (3.17)
Из механики недеформируемого твердого тела известно, что ско¬рость точки М можно представить в виде:
ь-ьо + ш х Ьт.
Таким образом, в случае твердого тела скорость точки М склады¬валась бы из скорости поступательного движения и линейной ско¬рости, обусловленной вращением точки М вокруг оси, проходящей через точку Мо. В жидкости, которая является деформируемой сплош¬ной средой, появляется дополнительная составляющая скорости, обу-словленная деформацией жидких частиц:
и = и + ш х 5г + Ьдеф. (3.19)
Сопоставление уравнений (3.16) и (3.19) показывает, что компо-ненты скорости, обусловленные вращением и деформацией, опреде-ляются значениями производных от составляющих вектора скорости в уравнении (3.16). Для удобства выяснения механического смысла представим их в виде матрицы (3.20):
Эи» Эуу Эу
Эх Эх Эх Ц ду, дц Эу ду ду
ЭУХ Эуу ду2
_ Эг Эг Эг _
Для упрощения задачи ограничимся далее рассмотрением плос-кого двухмерного потока жидкости. Пусть жидкая частица в виде прямоугольного плоского элемента аЪос1 располагается в плоскости хог (рис. 3.5).
Различия скоростей его вершин определяются матрицей (3.21):
дух Ц дх ЭХ дц Эц Эг Эг
Эу
Упростим задачу и рассмотрим случай, когда —х > 0, а осталь-
Эх
ные произодные равны нулю (такой случай приведен на рис. 3.5).
Тогда в направлении оси 7 все точки имеют одинаковую скорость, и перемещение элемента в этом направлении происходит без дефор-мации. В направлении оси х грань Ьс будет двигаться быстрее и опе-
Э и
режать грань ad с относительной скоростью —х 5Х. При этом эле-
Эх
мент подвергается линейной деформации растяжения с той же ско-ростью в направлении оси х.
Э1)
В случае, когда х < о, будет наблюдаться линейная деформа-
Эх
ция сжатия элемента. Поделив скорость деформации на длину эле-мента Эх, получим значение относительной скорости линейной деформации гхх элемента в направлении координаты х:
£„ = Э1х5х: 5х=1. (3.22)
Эх Эх
По аналогии с рассмотренным выше можно с учетом данных матрицы (3.20) и рис. 3.5 получить значения относительных ско¬ростей линейной деформации жидкой частицы aЬcd в направлении координат у (£уу) и 7 (£22):
Таким образом, члены главной диагонали матрицы (3.20) определяют линейные деформации растяжения или сжатия жидкой частицы. Рассмотрим далее случай, когда смешанные производные не равны
д ))
нулю. К примеру х > 0, а остальные производные равны нулю (рис.
дг
3.6).

Рис. 3.6. Угловая деформация элемента аЬссС В этом случае грань сС движется с большей относительной скоростью

Ъг в сравнении с гранью аЬ в направлении оси х.
Жидкая частица претерпевает угловую деформацию со скоростью у. Тангенс угла у, в виду малости угла, равен углу у:
1§у = д)Ъг: Ъг = д) @ у. (3.24)
дг дг
д )
Таким образом, смешанная производная —х = у характеризует
дг
скорость угловой деформации элемента.
На рис. 3.6 видно, что кроме угловой деформации наблюдается также вращение элемента аЬесС с угловой скоростью юу, о чем свиде-тельствует смещение диагонали элемента. Оценим величину угловой скорости. Для этого рассмотрим переход элемента из начального
положения (рис. 3.6, элемент аЬсС) в конечное (элемент аЬсС) в две стадии.
Сначала реализуем «чистый» сдвиг граней в элементе на угол у, не допуская вращения элемента (следовательно смещения диагонали), а далее повернем элемент с угловой скоростью юу (рис. 3.7). В случае чистого сдвига происходит сдвиг граней аЬ и асС (элемент аЬ ’с С ‘) со скоростью угловой деформации £, равной:
2 2 дг
Далее для перемещения элемента в конечное состояние аЬс’С” (на рис. 3.6 аЬс’С), происходит его вращение с угловой скоростью
Юу: ю _ — у _1 и (3.26)
У 2 2 дг
Рассмотрим далее общий случай, когда в матрице (3.21) обе
ди ди
смешанные произ-водные —х и —г больше нуля.
дг дх
В этом случае элемент жидкости также подвергается одновременно угловой деформации и вращению. Разделить их можно описанным выше способом (рис. 3.8).
В случае «чистого» сдвига граней аЬ и ас1 скорости угловой деформации £Х2, £2Х должны быть равны, чтобы не допустить

У дУ2
Эz дх

Возвратимся к системе уравнений (3.16) и преобразуем их с учетом уравнений (3.29). Для преобразования первого уравнения (3.16)
ОКОНчатеЛьнО: Ух = Уох +(шу82—ш28У)+(£хх8х+£ху8у+£х282)•
По аналогии другие два члена системы (3.16) принимают вид:

Далее для удобства преобразований примем, что 8х = х; 8у = у и 82 = = 2, в данном случае предполагается смещение начала координат в точку Мо (см. рис. 3.4).
Трехчлены в уравнениях (3.30) можно представить в виде част¬ных производных от некоторой функции Ф (х,у,2):
ф(х,у,2) = 2 (£ххх2 +£уу.у 2 +£2222 + 2£хуху+2£уу + 2£ ,х2Х)
Продолжая преобразования уравнений (3.30), запишем выраже¬ния (3.31) и (3.32) в следующем виде: дФ
— = £ ххх + £ хуу + £ х22;
дх
вид:
v = vo + ю х br + gradФ.
Вектор угловой скорости ю можно выразить иначе через вектор
ротора скорости (rot и): ю = ^rotv. Векторную форму уравнения
2
(3.33) представим в виде: v = vo + ^го^х br + grad Ф.
2
Уравнения (3.33) выражают содержание теоремы Гельмгольца, которую можно сформулировать следующим образом: скорость лю¬бой точки жидкой частицы в данный момент времени можно пред¬ставить геометрической суммой скорости поступательного движе¬ния, линейной скорости вращательного движения и скорости де-формационного движения.
3.4. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Если в жидкости движение частиц происходит без вращения, то в любой точке потока жидкости вектора угловой скорости и ротора скорости равны нулю: ю = гои = 0. Вектор ротора (или вихря) скоро-сти можно представить следующим образом:
V V V
Движение жидкости, соответствующее условию (3.34), называ-ется безвихревым. Из уравнения (3.34) следует равенство смешанных производных, что является условием безвихревого движения жид-кости, представленным в координатной форме:
дц дц дЦу ди
ду дг дг дх дх ду
Наличие равенств (3.35) позволяет заключить, что существует некоторая функция р(х, у, г), полный дифференциал которой можно представить следующим образом:
Эту функцию называют потенциалом скорости, так как ее гра-диент определяет значение вектора скорости, а производные по ко-ординатам — соответственно значения составляющих вектора скорос-ти:

4. ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКОСТИ
В разделе «гидродинамика жидкости)) рассматриваются основ¬ные закономерности движения жидкостей (или газов). В основе выво¬дов уравнений гидродинамики используются основные законы общей физики и механики: законы постоянства массы, энергии, количества движения и момента количества движения.
4.1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
4.1.1. Силы и напряжения, действующие в жидкости
Силы по характеру их действия на частицы жидкости делятся на массовые и поверхностные.
Массовые (иначе объемные) силы пропорциональны массе и действуют на все частицы выделенного объема жидкости. Примерами массовых сил служат силы тяжести, инерции, электростатического притяжения и др.
Поверхностные силы действуют на поверхность выделенного объема и пропорциональны величине поверхности. К ним относятся силы давления и трения.
Распределение массовой силы в объеме А V задается с помощью вектора плотности (или напряжения) массовой силы F:
F = lim — =1 lim —. (41)
Dm®0 Dm р DV®0 DV
где F — напряжение массовой силы в данной точке жидкости; AF — главный вектор массовых сил, действующих на массу Am.
Размерность этой величины совпадает с размерностью ускорения.
H _ кг м _ м
_ 2 _ 2 кг кгс2 с2
В частном случае действия силы тяжести плотностью распределения ее служит вектор ускорения силы тяжести g и ДР = ^Дш.
Массовая сила, действующая на элемент массы dm = рdV, будет равна рFdV. В общем случае напряжение массовой силы представ-ляется как функция координат точек исследуемого пространства: ^ = Р(х,у,г).
Напряжение (или плотность распределения) поверхностных сил, действующих в данной точке поверхности, определяется вектором р:
АР
м с м мс
Поверхностная сила, действующая на элементарную площадку dS, будет равна pdS.
В отличие от вектора массовых сил ¥, который является одноз-начной функцией координат точек пространства, напряжение поверх-ностной силы определяется не только координатами точки поверх-ности, но и зависит от ориентации площадки, к которой приложена сила.
Между напряжениями сил, приложенных к разным площадкам, проходящих через данную точку и имеющих различную ориентацию, существует связь.
Для установления этой связи выделим в движущейся жидкости элементарный тетраэдр АВСМ с вершиной в точке Ми с боковыми гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 4.1).
Примем объем тетраэдра равным dV, а площади граней ^Лх, dSy, dSz и dSn.
где ^м и — вектора массовых и поверхностных сил, действующих на рассматриваемый тетраэдр. В нашем случае dFм = Fdm = рУИУ (Ит = рИУ); dFП = X PidSi.
С учетом уравнения (4.3) получим:
Ии
р ИУ = рУИУ — р ИЗ + р ИЗ + р ИЗ + р ИЗ .
п п XX У У 2 2
Уменьшаем далее объем тетраэдра (ИУ ^ 0). При этом массовые силы, пропорциональные объему, являются величинами третьего порядка малости, а поверхностные силы — второго порядка, поэтому массовыми силами можно пренебречь, следовательно, имеем:
р ИЗ = р ИЗ + р ИЗ + р ИЗ
П П XX У У 2 2
Далее можно показать, что существует количественная связь между гранями тетраэдра (см. рис. 4.1):
dSx = dSn cos(n,x) = nxdSn; dSy = nydSn; dSz = nzdSn, (4.6)
где nx = cos (n, x); ny; nz — направляющие косинусы внешней нормали к основанию тетраэдра АВС. Используя уравнения (4.5) и (4.6), полу¬
чим: p = n p + n p + n p .
rn xr x Уг У zr z
Или в проекциях на оси координат:
p = n p + n p + n p ;
r nx xr xx yr yx zr zx^
p = n p + n p + n p ;
ny x xy y yy z zy
p = n p + n p + n p .
nz x xz y yz z zz
Первый подстрочный индекс при напряжении р указывает на ориентацию площадки, а второй — на ось, на которую спроектировано напряжение.
Таким образом, уравнения (4.7) и (4.8) позволяют определить напряжение поверхностной силы рп в различных точках потока жид-кости и при любой ориентации площадки, на которую оно действует, с помощью трех векторов рх , ру , рг или девяти скалярных напря¬жений. Совокупность скалярных напряжений составляет тензор нап-
^ pzx pzy p
Величины р , р , р , расположенные на главной диагонали,
представляют собой нормальные напряжения, а остальные — касатель-ные напряжения. Сумма нормальных напряжений не зависит от ори-ентации в пространстве трех взаимно ортогональных площадок тет-раэдра, на которые действуют силы рх, ру, рг, и определяет величину давления в данной точке потока жидкости:
р = -1 (рхх +руу +р= )• (410)
Применив к рассмотренному элементу жидкости закон сохране-ния момента количества движения (см. рис. 4.1), получим:
на основе которого можно показать, что тензор напряжений (4.9) является симметричным и, следовательно, касательные напряжения, расположенные симметрично относительно главной диагонали тензо-ра напряжений, равны:
pxy = pyx; pxz = pzx; pzy = pyz’ (4.11)
4.1.2. Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности (иначе непрерывности) жидкости можно получить путем применения к движущейся жидкости закона сохранения массы. Рассмотрим произвольный объем жидкости V, ог-раниченный поверхностью У (рис. 4.2).
с учетом которой следует, что она представляет собой вектор плот-ности потока жидкости, определяя массу жидкости, протекающую через единицу поверхности за единицу времени .
Через конечную поверхность £ за единицу времени вытекает масса жидкости )т (кг/с):
Ат = | рь^Я, (4.12)
£
где рип представляет собой нормальную составляющую вектора ри (рис. 4.2). За счет вытекания жидкости, убыль ее массы в объеме V за единицу времени составит )т (кг/с):
Ат‘=-^т. = Л | р аV.
дг дг V
*
По закону сохранения массы Ат = Ат : I рг>пО£=—| р^ = — I—ау.
£ п дгу V дг
Так как уравнение (4.16) справедливо для любого объема, то подынтегральное выражение также должно быть равно нулю:
— + &у(рь) = 0.
дг У ‘
Полученную зависимость называют уравнением неразрывности (или непрерывности).
В частном случае для стационарного потока жидкости уравнение (4.17) упрощается и принимает вид:
ШУ (р^) = 0;
В случае несжимаемой жидкости (р = const) соответственно по-лучим:
divv = 0;
Эи Л (4.19)
Эх Эу Ъ2
Равенство (4.19) иногда принято называть уравнением несжи-маемости.
Все полученные формы уравнения неразрывности должны быть справедливы в любой точке потока жидкости.
При решении практических гидродинамических задач представ-ляет интерес использование уравнения неразрывности в форме, при-менимой для сечения потока в целом.
Рассмотрим поток жидкости, в котором 5) и 52 произвольно выбранные сечения в потоке (рис. 4.3).
Количество жидкости, протекаю¬щее через любое сечение 5 в еди¬ницу времени, определяется пото¬ком вектора ри и в соответствии с уравнением (4.12) составит:
m
В соответствии с законом сохранения массы массовый расход жидкости через различные сечения потока должен быть одинаков:
m1 = m2 = mt = const (кг/с), или, с учетом уравнения (4.12), получим:
J pv^dS = j pV^dS = JpvlndS = const (кг/с) (4.21)
S1 S2 Si
Уравнение (4.21) выражает общий вид уравнения неразрывности для сечения потока, применимое для сжимаемой жидкости.
В случае несжимаемой жидкости (p = const) уравнение (4.21) можно упростить:
J vlndS = J v^dS = JVndS=const=Q (м3/с). (4.22)
S1 S2 Si
Объемный расход несжимаемой жидкости одинаков в любом се-чении потока.
Скорость в различных точках сечения потока неодинакова, поэ-тому удобно для практических расчетов пользоваться расчетной вели-чиной средней скорости, постоянной для всего сечения потока (игср = =Q/S = = const), что позволяет проинтегрировать уравнение (4.22): u S1 = V S2 = Ц, Si = Q = const. (423)
Полученное равенство (4.23) представляет собой наиболее прос-тую форму уравнения неразрывности, применимого для сечения по-тока.
4.1.3. Уравнение движения жидкости в напряжениях
Выделим в жидкости произвольный объем V, ограниченный по-верхностью S и учтем все приложенные к нему силы.
Для получения искомого уравнения применим к движущейся жидкости закон постоянства количества движения.
В случае элементарного объема dV, ограниченного поверхнос-тью dS, получим:
d[d(mv)] = pdVdV = pFdV+p dS, (4.24)
dt dt n
где pFdV;рпй£ — объемная и поверх¬ностная силы, действующие на выделен¬ный объем йУ.
Соответственно для конечного объема V, ограниченного поверхностью £ (рис. 4.4), уравнение (4.24) примет вид:
Iр йУ — |рЕйУ-/рпс13 = 0. (4.25)
V & У £
Используем формулу Остроградского¬- Гаусса для замены поверхностного ин¬
С учетом уравнений (4.25) и (4.26) получим:
В силу произвольности выбранного объема У подинтегральное выражение в формуле (4.27) должно быть равно нулю, следовательно,
получим: рЖ = рЕ + ддРх + дру + др2,
дх ду дг
или в координатной форме:
рЖ = рЕ +дрх + дрх + дрх; х х дх ду дг
рЖ = рЕ +дрху + ^+дру; у у дх ду дг
рЖ = рЖ + дРх^ + Эру^ + Эр7. (4.29)
7 7 Эх Эу ЭЕ
Равенства (4.28) и (4.29) называют уравнениями движения жид-кости в напряжениях. Каждый член уравнения (4.28) представляет собой одно из напряжений сил, действующих в жидкости.
Величина рЖ = р — имеет смысл инерционной силы, отнесен¬ной к единице объема; рЖ — массовая сила и сумма трех последних членов выражает результирующую поверхностную силу, отнесенную также к единице объема.
4.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Для получения дифференциального уравнения движения реаль¬ной (иначе вязкой) жидкости можно воспользоваться системой урав¬нений движения жидкости в напряжениях (4.28), (4.29). Однако в них число неизвестных величин превосходит число уравнений, поэтому для решения данной системы необходимы дополнительные соот¬ношения.
4.2.1. Обобщенный закон Ньютона
Найдем связь между касательными напряжениями и скоростями угловой деформации жидких частиц.
Рассмотрим случай одномерного плоскопараллельного потока жидкости, обтекающего поверхность твердого тела.
Ранее профиль скоростного поля в таком потоке был показан на рис. 1.2. Наличие вязкости жидкости определяет появление при ее движении сил внутреннего трения, которые вызывают деформацию жидких частиц (рис. 3.6).
В соответствии с уравнениями (1.3), (3.24) касательные напря-жения, возникающие между слоями прямолинейно движущейся жид-
кости, определяются законом Ньютона, а также скоростью угловой деформации у:
Рассмотрим далее плоский двухмерный поток жидкости. Как уже ранее было показано (рис. 3.8), при движении плоской частицы аЬсс1 в плоскости гох наблюдается ее угловая деформация, скорость кото¬рой у определяется уравнением:
Обобщая полученный результат, для случая движения объемной жид-кой частицы с учетом уравнений (3.29), (4.32), окончательно имеем:
(4.33)
Полученные уравнения (4.33) выражают зависимость между касатель-ными напряжениями и скоростями угловой деформации, причем эта зависимость носит линейный характер.
На основе использования закона Ньютона была также установ-лена связь нормальных напряжений рхх, руу, ргг с линейными ско-ростями деформации растяжения или сжатия элементарной жидкой частицы:
(4.34)
Уравнения (4.33), (4.34) принято называть обобщенным зако¬ном Ньютона.
4.2.2. Дифференциальные уравнения движения реальной
жидкости
Для вывода дифференциального уравнения движения реальной (или вязкой) жидкости воспользуемся уравнениями движения жид-кости в напряжениях (4.28), (4.29) и обобщенным законом Ньютона (4.33), (4.34).
Введем обозначения:
я _ЭРх +Фу . дР7 Эх Эу 07
или в координатной форме:
Я ЭРХХ | ЭРРух
х~ Эх Эу
где Я — равнодействующая поверхностных сил.
Преобразуем далее величину Ях, используя уравнения (4.28), (4.29):
При ц = const, т.е. в случае изотермического потока жидкости, ц можно вынести из под знака дифференциала и записать:
далее имеем:
Аналогичные выражения можно получить и для других состав-ляющих результирующей поверхностных сил (Лу и Л,):
Л„ = -— + 1 ц—div^+цУ 2^у
dz 3 dz
Суммируя составляющие, получим выражение для вектора R:
1 2 R = — grad р + — ц grad div v + ц У2 v.
Подставляя выражение (4.37) в уравнения (4.28), (4.29) и поделив все члены уравнения на р (имея также в виду, что ц/р = V — кине-матический коэффициент вязкости), получим:

В процессе решения практических задач, связанных с движением несжимаемой жидкости, необходимо помимо уравнений (4.40) ис-пользовать также уравнение неразрывности (4.19).
При интегрировании дифференциальных уравнений (4.40), (4.19) появляются произвольные постоянные, для нахождения которых не-обходимо сформулировать краевые условия. К ним относятся началь-ные и граничные условия.
Начальные условия задаются для нестационарного движения жидкости. В этом случае в начальный момент времени ^ = to (I = 0) необходимо задать значения скорости и давления:
Ьо = ь(х, у, г);
Ро = Р (х X 2 )■
Граничные условия включают значение скорости потока на гра-нице соприкосновения жидкости с поверхностью твердого тела. В частном случае при обтекании неподвижного тела граничное условие представляется в виде:
Ь = 0. (4.42)
п
Следует обратить внимание, что в общем случае система диф-ференциальных уравнений движения вязкой жидкости аналитичес¬кого решения не имеет.
4.3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
4.3.1. Идеальная жидкость. Давление в идеальной
жидкости
Под идеальной жидкостью понимают гипотетическую модель-ную жидкость, которая не обладает вязкостью. Принимают также, что в идеальной жидкости отсутствуют процессы теплообмена как внутри самой жидкости, так и между жидкостью с окружающей средой. Таким образом, движение идеальной жидкости рассматри-
вается как адиабатическое. Модель идеальной жидкости удобна для решения ряда практических задач, касающихся движения реальной (вязкой) жидкости, когда можно пренебречь силами вязкости по сравнению с другими силами, действующими в жидкости.
Так как в идеальной жидкости вязкость отсутствует (ц = V = 0), при ее движении силы внутреннего трения не возникают, следовательно, касательные напряжения в любой точке жидкости равны нулю:
р = р = р = р = р = р = 0. (4.43)
г Ху Г ух г Х2 г 2Х г уч г чу
Для нормальных напряжений в идеальной жидкости, в соот¬ветствии с уравнением (4.34), получим:
рхх = р,у = рчч =-р. (444)
4.3.2. Уравнения движения идеальной жидкости
Уравнение движения идеальной жидкости можно получить, используя уравнение движения реальной жидкости (4.40) без учета сил трения, обусловленных вязкостью, так как в рассматриваемом случае ц = V = 0:
Ж _ du = дu + (uУ)u = Е — -^гаёр, (445)
с1г дг У 1 Р
(4.46)
Уравнения (4.45), (4.46) называют уравнениями Эйлера.
Уравнение Эйлера справедливо как для безвихревого (потен¬циального) движения идеальной жидкости, так и в случае вихревого
потока.
Для дальнейших преобразований уравнение Эйлера удобно пред-ставить так, чтобы эти случаи движения различались, что и сделано российским ученым И. С. Громека. Для проведения преобразования воспользуемся известным векторным соотношением:
дп
дУ
дп
dz
Примером такой силы, имеющей потенциал, является сила тяжести, которая обычно и учитывается при решении большинства практи-ческих гидродинамических задач. Потенциал силы тяжести равен: п = gz, где g — ускорение силы тяжести, а 7 — высота уровня, на котором находится исследуемая точка в жидкости.
Во-вторых, считаем, что движение жидкости является баротроп- ным, т. е. предполагаем, что плотность жидкости зависит только от давления:
Р = Р (р) (4.50)
Тогда силу давления в уравнении (4.48) можно преобразовать: dP = dp / р, (4.51)
dp
Величина Р (р) представляет собой некоторую функцию давле-ния.
Используя равенства (4.49), (4.51), преобразуем уравнение Громека (4.48):
Упростим уравнение (4.53), рассматривая стационарный (или
установившейся) поток жидкости. В этом случае локальная произ-
д и
водная — = 0 и уравнение (4.53) примет вид:
д*
Уравнение Громека в форме (4.54) может быть проинтегрировано для ряда частных случаев, при условии равенства нулю правой части. Во-первых, этому условию соответствует потенциальное (или безвих-ревое) движение жидкости (rot и = 0).
В данном случае равенство (4.54) принимает вид:
откуда получаем интегральный вид уравнения:
,2
+ п + P = const.
2
Уравнение (4.56) справедливо для всех точек потенциального по-тока и его называют интегралом Лагранжа-Коши, применимым для стационарного движения жидкости.
Дифференциальное уравнение (4.54) можно также проинтегри-ровать для случая винтового движения жидкости. При этом наблю-дается совпадение линий тока и вихревых линий, что является усло-вием совпадения векторов скорости и ротора скорости. В таком слу¬чае произведение векторов будет равно нулю:
их гои = 0. (4.57)
В уравнении (4.54) правая часть также обращается в ноль:
2
рассмотренному выше: + п + р = который применим для
2
всех точек винтового движения жидкости, называемый интегралом Громека. Для последующего интегрирования уравнения (4.54) необ-ходимо дополнительное преобразование.
Умножим обе части уравнения (4.54) скалярно на элемент &:
= (vx rotv) dr. (4 58)
В правой части векторноскалярного произведения уравнения (4.58) проведем последовательно две циклических замены сомно-жителей:
Если рассматривать dr как элемент касательной к линии тока или вихревой линии, то в соответствии с их уравнениями в векторной форме (3.10), (3.38) получим равенство ^г х^) = (го^х dr ) = 0, поз-воляющее проинтегрировать уравнение (4.59) и получить снова вид
применим для точек в жидкости, лежащих на одной линии тока или вихревой линии. Полученное интегральное выражение носит назва¬ние интеграла Бернулли.
4.3.3. Уравнение Бернулли
Как следует из рассмотренного выше, полученные интегралы ана-логичны, но различны области их применения. Наибольшее практи-ческое значение имеет интеграл Бернулли. Придадим этому интегралу более конкретную форму, сделав ряд дополнительных допущений:
Во-первых, предположим, что в качестве массовой силы в жид-кости действует сила тяжести. В этом случае потенциал массовой силы п = gz.
Во-вторых, ограничимся рассмотрением несжимаемой жидкости, для которой р = const и выражение для функции давления Р прини¬мает вид:
P = j — = — + const. (4.60)
Р Р
С учетом указанных допущений интеграл Бернулли обретает конкретную форму:
P
+ gz + — P
Полученное выражение носит название уравнения Бернулли.
Равенство (4.61) с учетом рассмотренных интегралов применимо для всех точек потенциального (безвихревого) потока или винтового движения, а также для всех точек данной линии тока или вихревой линии.
Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии в дви¬жущейся идеальной жидкости. Величина и2/2 представляет собой кинетическую энергию единицы массы жидкости, а сумма величин
gz + p соответственно определяет потенциальную энергию единицы P
массы движущейся жидкости. При этом gz -потенциальная энергия, обусловленная действием силы тяжести, и р/р — действием силы давления.
Уравнение (4.61) позволяет заключить, что при стационарном ба- ротропном вихревом движении идеальной жидкости полная меха¬ническая энергия в расчете на единицу массы сохраняет постоянное значение в любой точке линии тока или вихревой линии.
Уравнению Бернулли (4.61) можно придать другой вид, разделив
о
все члены на g [у — удельный вес жидкости: у = pg (H/м )]:
2
— + z + P = const = Н (м). (4 62)
2g Y
Аналогично рассмотренному выше равенству (4.61), уравнение (4.62) также выражает закон сохранения энергии при движении идеальной жидкости.
Все члены уравнения (4.62) имеют размерность длины (м) и определяют кинетическую или потенциальную энергию в расчете на единицу веса движущейся идеальной жидкости. Их принято называть высотами или напорами. Величина v2/2g является скоростной вы¬сотой и определяет соответственно скоростной (или динамический)
напор в данной точке жидкости. С другой стороны, она характеризует величину кинетической энергии, отнесенную к единице веса жид-кости. 2 называют геометрической высотой, которая определяет потенциальную энергию единицы веса жидкости, обусловленную действием силы тяжести, и высоту уровня расположения точки в жид-кости, в которой рассматривается уравнение Бернулли. р/у — пьезо-метрическая высота (или напор), соответствующая давлению р в данной точке жидкости. Она выражает потенциальную энергию в рас-чете на единицу веса жидкости, обусловленную действием силы дав-ления. Суммарную величину:
принято называть пьезометрическим (или гидростатическим) на-пором, который определяет суммарный напор в случае неподвижной жидкости.
Н — полный (суммарный) гидродинамический напор в данной точке жидкости.
Из уравнения (4.62) следует, что полный гидродинамический на-пор в стационарном потоке идеальной жидкости будет постоянен для всех точек потенциального (безвихревого) потока или винтового дви-жения, а также для всех точек данной линии тока или вихревой ли¬нии.
Умножив все члены уравнения (4.62) на у, получим третью форму
записи уравнения Бернулли:
2
PU + у z + p = const (Па). (4 63)
Все члены уравнения (4.63) имеют размерность давления, и их, как и в предыдущем случае, принято называть напорами.
Соответственно существуют скоростной (ри2/2), геометрический (у?) и пьезометрический (р) напоры.

Рис. 4.5. К вопросу применения уравнения Бернулли к элементарной
трубке тока
Уравнение Бернулли, полученное для линии тока, можно исполь-зовать при анализе движения жидкости в трубке тока.
Выделим в стационарном потоке идеальной несжимаемой жидкости элементарную трубку тока (рис. 4.5) и применим к ее сечениям 1 и 2
уравнение Бернулли в форме равенства (4.62):
2 2
— + Z1 + — = — + z2 + — = const. (4.64)
2g pg 2g pg
Анализ уравнения (4.64) позволяет заключить, что при переходе от сечения 1 к сечению 2 в трубке тока скорость возрастает, поэтому растет скоростной напор v2/2g, а пьезометрический напор соответст-венно снижается.
Для проведения практических расчетов в трубке тока конечных размеров необходимо рассмотреть возможность применения урав-нения Бернулли для сечения потока в данной трубке тока. Так как скорость в различных точках потока неодинакова, принято при оцен¬ке скоростного напора использовать расчетную величину средней скорости иср = const (рис. 4.6).
Уравнение (4.64) в этом случае принимает вид:
2
а14ср1
2g Р£ 2 g
Дополнительные коэффициенты а1 и а2 связаны с заменой истин¬ной скорости в сечении потока на среднюю скорость, и их принято называть коэффициентами кине¬тической энергии (или коэффи-циенты Кориолиса).
При ламинарном движении жидкости в цилиндрической трубе можно принять а = 2,0; а при тур¬булентном режиме а = =1,05-1,1 (при расчетах часто принимают а = 1,0).
В процессе решения практических задач, кроме уравнения Бер-нулли (4.65), используют также уравнение неразрывности в форме (4.23), применимое для сечения потока жидкости:
Цр $1 = Ц2р52 = Ц р $ = 0> (м3/с).
Трубку тока можно отождествить с реальными гидродинамичес-кими сооружениями (к примеру, с трубопроводом), что позволяет проводить с помощью уравнения Бернулли количественные расчеты технологических параметров этих сооружений, если жидкость можно рассматривать как идеальную (т. е. пренебречь силами трения, обус-ловленными вязкостью жидкости).
В случае реальной (вязкой) жидкости уравнение (4.65) не приме-нимо. Однако его используют для расчетов и в этом случае, введя поправку на потерю напора, связанную с преодолением силы трения. Так, для рассмотренной выше трубки тока для сечений 1 и 2 (см. рис. 4.5) уравнение Бернулли представляют в виде:
2 2 а1^ср1 А а2^ср2 Р2
2 ё ‘ Рё 2^ 2 р£ ^
Где Актр — потеря напора, идущая на преодоление силы трения в пото-ке вязкой жидкости на участке между сечениями 1 и 2.
4.3.4. Определение потерь напора при стационарном движении вязкой жидкости
В случае реальной (вязкой) жидкости в соответствии с уравне-нием (4.66), для проведения количественных расчетов различных гид-равлических сооружений необходимо оценить потери напора АНтр, обусловленные силами внутреннего трения, возникающими в потоке
вязкой жидкости.

Т и
АН1 = А
тр 715 <1 2 ё
где Ь и d — соответственно длина и диаметр трубопровода; Хр — безразмерный коэффициент гидравлического сопротивления (трения). Для оценки местных потерь ДАтрм используют формулу Вейсбаха.
и
ММ = ^ , (4.69)
2 g
где — коэффициент местного сопротивления, который определяется опытным путем.
4.3.5. Примеры применения уравнения Бернулли
Интегралы уравнения движения идеальной жидкости, получен¬ные в предыдущем разделе, имеют большое значение в теоретической и прикладной гидродинамике. Сказанное в особенности относится к уравнению Бернулли, на котором основано решение большого числа разнообразных гидродинамических задач. Рассмотрим два простых примера применения уравнения Бернулли.
Измерение скорости движения жидкости при помощи скоростной трубки (трубка Пито-Прандтля)
Если прямолинейный и равномерный поток жидкости встречает на своем пути неподвижное твердое тело (рис. 4.8), то линии тока, проходящие вблизи этого тела, отклоняются. Это отклонение будет тем больше, чем ближе рассматриваемая линия тока к поверхности обтекаемого тела.

Рис. 4.8. К вопросу о применении уравнения Бернулли

Точка А, в которой происходит разветвление потока, называется критической точкой потока, где скорость жидкости равна нулю.
Пусть скорость невозмущенного потока (т. е. скорость вдали от обтекаемого тела) равна и. Рассмотрим линию тока, проходящую че-рез критическую точку А.
Обозначим давление в точке В, лежащей на этой линии тока в
невозмущенной области, через
ро, а в критической точке — р. Применяя к точкам А и В рассматриваемой линии тока уравнение Бернулли (4.63) и учитывая, что 2А = ZВ, получим:
ри2
р=р0+^.
Отсюда следует, что динамичес¬кий (скоростной) напор потока равен приращению давления в
критической точке А: = р — р0. Давление р0 принято называть статическим давлением, а р — полным давлением. Измерив полное и статическое давления, можно определить скорость потока.
Простейшим прибором, позволяющим воспроизвести критичес-кую точку потока и измерить в ней полное давление р, является так называемая трубка Пито (рис. 4.9), предложенная в 1732 г. Критической точкой является открытый конец трубки, обращенный навстречу потоку.
Статическое давление р0 измеряется обычным пьезометром, поме-щенным в том же сечении потока. Скоростные трубки, применяемые в настоящее время (трубка Пито-Прандтля, трубка ЦАГИ и др.) поз-воляют измерять одновременно полное и статическое давление.
Истечение несжимаемой жидкости из большого сосуда через
малое отверстие
Представим себе, что в сосуде, изображенном на рис. 4.10, нахо-дится несжимаемая жидкость, плотность которой равна р.
Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости через р\, высоту уровня жидкости в сосуде через 2\ и высоту уровня оси отверстия через 2^.
Линии тока жидкости, выте¬кающей из сосуда в виде струи, можно рассматривать как продол¬жение линий тока жидкости, дви-жущейся внутри сосуда, и считать, что они образуют одну и ту же Ри
трубку тока.
Применим к этой трубке тока
уравнение Бернулли и запишем его для двух сечений трубки:
2 2 ри ри2
-+ УЛ + Р1 = ^ + У^2 + Рат.
Учитывая, что сечение сосуда много больше сечения струи и, следовательно, щ<< и2, мы можем отбросить первый член левой части уравнения. Тогда будем иметь (подстрочный индекс при и2
Полученная формула справедлива лишь при условии сохранения постоянства напора, т. е. в том случае, когда уровень жидкости в со-суде 21 и давление р1 поддерживаются постоянными.
Для открытого сосуда р1 = рат и формула (4.70) примет вид:
Ь=^2ф. (4.71)
Мы получили хорошо знакомую формулу Торричелли для скорости истечения идеальной жидкости из открытого сосуда.
Для определения скорости истечения реальной жидкости поль-зуются следующей формулой:
2
2 Ф+4 Р1- Рат ).
Р
Здесь ф — безразмерный коэффициент скорости, определяемый равен¬
местный коэффициент сопротивления, учи¬
тывающий потери напора при истечении жидкости.
Объемный расход жидкости вычисляется по формуле
в =
где £ — сечение отверстия, а £ = £с/£ — коэффициент сжатия струи в выбранном сечении 2-2 (рис. 4.10) [£с — сечение струи ].
Используя формулу (4.72), можем написать:
2
2gh+-(р -РаТ ), Р
где = £• ф — коэффициент расхода жидкости.
Для случая, когда р1 = рат, вместо формул (4.72) и (4.73) будем иметь соответственно:
5. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В гидродинамике вязкой жидкости экспериментально установ-лены два различных режима движения: ламинарный и турбулент-ный.
Ламинарный (иначе слоистый) режим наблюдается при отно-сительно низких скоростях в потоке жидкости и характеризуется упо-рядоченным параллельнослоистым движением, при котором слои жидкости скользят друг по другу не перемешиваясь.
Турбулентный (или хаотичный) режим наблюдается при вы-соких скоростях потока и характеризуется интенсивным перемеши-ванием, что обусловлено вихревым и нестационарным движением жидкости в данном режиме.
Условия существования этих режимов движения и перехода из одного в другой подробно были изучены Рейнольдсом. Его опыты заключались в следующем (рис. 5.1).
Через стеклянную трубу, имев¬шую на выходе кран для регулиров-ки скорости течения жидкости, под напором протекала вода. Для того чтобы сделать движение видимым, в трубу дополнительно вводили струйку водного раствора краски.
В ходе экспериментов варьировали диаметр трубы й, среднюю ско-рость движения иср и кинематичес¬кий коэффициент вязкости воды V, изменяя ее температуру.
Было установлено, что, пока значение отношения «ср «», которое
позже было названо числом Рейнольдса (Яе), оставалось ниже некоторой критической величины, окрашенная струйка воды на всем
протяжении трубы не смешивалась с остальной массой воды, что указывало на ламинарный (слоистый) характер движения жидкости. При значениях числа Рейнольдса выше критического окрашенная струйка уже при входе в трубу начинала пульсировать и далее быстро смешивалась с основным потоком, что указывало на турбулентный (хаотичный) режим движения.
Установлено, что критическое значение числа Рейнольдса Яекр заметно зависит от наличия возмущений при движении жидкости (возмущения при входе жидкости в трубу, вибрация установки и др.).
Но существует нижний предел Яекр, ниже которого ламинарный режим устойчив и возникающие возмущения затухают. Для цилин¬дрической трубы Яекртш ~ 2300. В то же время ламинарный режим можно затянуть, ликвидировав различные возможные возмущения потока, и достигнуть более высоких значений Яекртах ~ (5-15)104. Но в этих случаях наблюдался крайне неустойчивый ламинарный режим.
5.1. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
В случае ламинарного стационарного режима движения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе можно получить точное решение дифференциального уравнения Навье — Стокса. Рас¬смотрим горизонтальный стабилизированный ламинарный поток жидкости в направлении координаты х. Запишем систему диффе¬ренциальных уравнений, определяющих движение реальной (вязкой) жидкости. Она включает уравнения Навье-Стокса и неразрывности:
д[уь = 0.
Уравнения (5.1) можно упростить, имея в виду, во-первых, что труба горизонтальная, поэтому можно пренебречь в потоке жидкости действием массовых сил: Е = 0. Во-вторых, так как рассматривается
1 др;
Р ду’ 1 др; р дг ’
Эи = 0.
Эх
Из анализа уравнений (5.2) следует, что скорость их является фун-кцией координат у и 7, а давление зависит от координаты х.
Таким образом, система уравнений (5.2) сводится к равенству:
зЧ+зЧ= 1Ф=const. (5.3)
ду2 дг2 Ц dx
Так как левая часть уравнения (5.3) зависит от координат у и z, а правая — от х, то ввиду независимости координат друг от друга, не-зависимыми являются и обе части уравнения (5.3). Такое равенство возможно только при условии, что оно равно постоянной величине. Отсюда следует, что если Ц = const, то и dp/dx = const.
Обозначив через )р падение давления на участке трубы, длиною L, получим:
Ф __Ар, (5.4)
йх Ь
где )р/Ь — так называемый движущий перепад давления, который расхоуется на преодоление сил трения, обусловленных вязкостью жидкости.
При вторичном интегрировании имеем:
и = ——Я2 + С,1п Я + С2.
4цЬ
Произвольные постоянные С1 и С2 найдем из граничных условий. При Я = 0 (на оси цилиндра) скорость имеет некоторое конечное значение (т. е. и Ф да), поэтому С1 = 0. При Я = Я0 (Я0 — радиус трубы) и = 0 (на поверхности трубы скорость ипов = 0), отсюда имеем:
С2 =^Я2.
2 4ц Ь
Таким образом, уравнение (5.8) можно представить в виде:
где Ар = у’Акьгр = р<§-‘А^1гр (Шм2).
Из уравнения (5.9) следует, чго профиль скоростного поля по сече¬нию цилиндрической грубы носиг параболический характер (рис. 5.2). Максимальная скорость итах наблюдается на оси грубы (при Я = 0):
_ Лр
е _ { и2ЯЯ_— | (Я0 — Я2 )кс1К _ — Я04 _ Я4. (5.12)
0 2цЬ 0 8цЬ 8цЬ
Уравнение (5.12) выражает закон Пуазейля, согласно которому
объемный расход жидкости при ламинарном режиме движения жид¬
кости через сечение цилиндрической трубы пропорционален перепа¬ду давления, радиусу трубы в четвертой степени и обратно пропор-ционален вязкости жидкости.
Разделив объемный расход Q на сечение трубы, определим сред-нюю скорость по сечению трубы:
и _ 2и .
тах ср
Определим далее величину гидравлического сопротивления при ламинарном режиме движения жидкости в цилиндрической трубе. Этой величиной служит перепад давления Ар или потеря напора )ктр, который расходуется на преодоление сил сопротивления (трения) при движении жидкости.
Для оценки значения АкЬтр воспользуемся уравнением Вейсбаха — Дарси (4.68), в котором выразим АкЬтр из уравнения (5.13):
АкЬ _X™ ЬЦр _ 2
тр ^ а 2£ р £Й(2
откуда находим:
X _ 64—^ _64— _-6У (5.15)
41 Цра р Цра К«ср
где V = ц/р и Яеср = исра/у.
Уравнение (5.15) выражает закон сопротивления при ламинар-ном режиме движения жидкости в цилиндрической трубе.
С помощью уравнений (5.13) и (5.15) можно определить и иср, что позволит далее рассчитать потерю напора АкЬтр (или Ар).
Зная АкЬтр, найдем величину напряжения силы трения у стенки трубы (рис. 5.4).
_АрЯ0 _Р g ^ д
Ь 2 Ь 2 Таким образом, напряжение силы трения на стенки цилиндри¬ческой трубы равно перепаду давления на участке трубы, равном по¬ловине ее радиуса.
Подставим в равенство (5.17) значение АкЬтр из уравнения Вейсбаха-Дарси (4.68) и получим зависимость между напряжением силы трения на стенке цилиндрической трубы и коэффициентом гид-равлического сопротивления Х^:
Следует отметить, что уравнения (5.17) и (5.18) справедливы для обоих режимов движения жидкости, ламинарного и турбулентного, так как они получены на основе общих условий равновесия сил.
5.2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ
При значениях числа Рейнольдса Яе > Яекр ламинарный режим движения жидкости переходит в турбулентный. Данный переход свя-зан с возрастанием сил инерции, оказывающих возмущающее воз¬
действие и определяющих нестационарный и вихревой характер дви-жения жидкости.
Поэтому турбулентный режим характеризуется хаотическим, беспорядочным изменением скорости во времени в любой точке по-тока. Скорость постоянно пульсирует вокруг некоторого среднего значения, являясь случайной величиной (см. рис. 5.5).
Как видно, истинная скорость в произвольный момент времени при турбулентном режиме движения жидкости представляет собой сумму двух составляющих:
_ (5.19)
где и — средняя (или осредненная) скорость и и — пульсационная сос-тавляющая скорости.
Из вышесказанного следует, что турбулентный поток всегда явля-ется нестационарным и вихревым. Причем вихревое движение обу-словлено хаотическим характером перемещения конечных масс жид-кости в различных направлениях. Возникающие в потоке вихри харак-теризуются различным масштабом и интенсивностью пульсационных явлений.
По мере возрастания числа Рейнольдса вначале появляются крупномасштабные пульсации, а затем более мелкие. Таким обра-зом, турбулентность в потоке можно представить как наличие со-вокупности вихреобразных образований различного масштаба с раз-ным периодом существования вследствие их затухания за счет вяз-кости жидкости.
Основную роль в характере скоростного поля турбулентного по-тока играют крупномасштабные пульсационные вихревые образова-ния, а мелкомасштабные вихри постепенно затухают.
Наличие многочисленных пульсационных вихревых образований в турбулентном потоке, которые беспорядочно распределяются в пространстве и времени, обуславливает появление большого числа поверхностей разрыва скоростного поля. Объем, ограниченный этими поверхностями разрыва, включает определенное количество жид¬кости, называемое условно турбулентным «молем».
Принято характеризовать интенсивность (или степень) турбу-лентности £ следующим образом:
л/и2
£ *=и, (5.20)
V
где л/и/2 — среднеквадратичная величина пульсаций скорости; V — средняя скорость движения жидкости.
Обычно интенсивность турбулентности не превышает ~10%, а величина пульсаций скорости находится в пределах 0,1 — 10 м/с.
Масштаб амплитуды пульсационных вихрей определяется пос-редством некоторого характерного линейного размера, который в случае крупномасштабных вихрей может иметь порядок геометри-ческих размеров пространства, в котором движется поток жидкости, в тоже время мелкомасштабные пульсации обладают значительно мень-шими амплитудами. При этом принято определять масштаб турбу-лентности с учетом используемого метода изучения движения жид-кости: Лагранжа или Эйлера.
По методу Лагранжа изучают масштабы амплитуды отдельных вихревых образований в жидкости или поведение турбулентного «моля» в разные моменты времени. В методе Эйлера определяют временные амплитудные изменения турбулентных пульсаций в раз-личных точках пространства.
Соответственно получают интегральные масштабы турбу-лентности Лагранжа I Ьа или Эйлера I Еи. Отношение этих величин
с увеличением интенсивности турбулентности линейно растет и нахо-дится в диапазоне 0,5-0,8.
Обычно из-за простоты определения пользуются масштабом Эйлера. При турбулентном течении жидкости в цилиндрической трубе для оценки масштаба турбулентности Эйлера можно пользоваться следу-ющим простым соотношением: £Еи • Ш » 0,05, где с1 — диаметр трубы.
Для описания скоростного поля турбулентного потока вместо случайных мгновенных значений скорости (см. рис. 5.5) пользуются осредненными (средними) значениями. Для случая одномерного тур-булентного потока жидкости величину осредненной скорости V мож-но определить следующим образом:
т
t +
1 2 — \vcit,
Т т
t—
2
где и — мгновенная скорость, зависящая от времени (см. рис. 5.5);
Т — период осреднения скорости.
С учетом равенства (5.19), уравнение (5.21) можно представить:
т т т
t + t + t +—
2 /_ ч 1 2 /_ч
При достаточно большом периоде Т осреднения скорости, пов-торное осреднение не должно привести к ее изменению (см. рис. 5.5),
следовательно: р = р и V = 0.
Если осредненная скорость во времени постоянна, то такое ос- редненное турбулентное движение называют стационарным.
С учетом рассмотренного следует, что при анализе турбулентного движения удобно использовать модель осредненных полей всех ве-личин, определяющих характер движения, в частности, скоростного и давления.
5.2.1. Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе
Как и в случае ламинарного движения, изучение турбулентного потока жидкости в цилиндрической трубе сводится к выяснению характера распределения скорости по сечению трубы и установлению закона сопротивления при этом режиме.
Точное решение уравнения Навье-Стокса для турбулентного ре-жима отсутствует, поэтому для расчетов скорости и коэффициента гидравлического сопротивления используют эмпирические зависи-мости.

Рис. 5.6. Экспериментальные кривые распределения скоростей по сечению цилиндрической трубы при разных числах Яе Универсальный закон для определения осредненной скорости по сечению трубы в случае установившегося турбулентного движения (при любых значениях числа Яе) носит логарифмический характер (см. рис. 5.6) Никурадзе/:

— = 5,75 + 5,5. (5.23)
V
0, 3164 Яе025 ‘
Формулы (5.27) применимы при условии Яе < 105.
5.2.2. Влияние шероховатости стенки трубы на коэффициент сопротивления
Ранее рассмотренные формулы (5.25)-(5.27) применимы для ра-счетов в трубах с гладкой поверхностью. Реально поверхность труб всегда имеет некоторую шероховатость.
Шероховатость бывает волнистой или зернистой. В общем случае количественно оценить шероховатость достаточно сложно. Зернистую или бугорковую шероховатость определяют по средним размерам высоты бугорков (зерен), которая характеризует таким образом абсолютную шероховатость стенки трубы, А (мкм). Но чаще
— — А
пользуются понятием относительной шероховатости А = —
Я
отношению абсолютной шероховатости к радиусу (или диаметру) трубы. Величины абсолютной шероховатости труб, изготовленных из разных материалов, приведены в табл. 5.1.
Т а б л и ц а 5.1
Шероховатость стенок различных труб
Материал трубы А, мкм
Стеклянные 0,2 — 0,8
Цельнотянутые из латуни, свинца, меди (новые) 0,2 — 1,0
Стальные цельнотянутые (новые) 20 — 100
Чугунные (новые) 100 — 1000
Исследование влияния равнозернистой искусственной шерохова-тости на коэффициент сопротивления (трения) круглых труб было проведено Никурадзе.
Результаты его опытов приведены на рис. 5.7 в виде зависи¬мости:
х %р й \
Яе ср =—
V р у У при различных значениях величины, обратной относительной шеро-
й
ховатости: — = (30 — 1014).
А
График можно разбить на три различных участка. Первая область, отвечающая значениям числа Яе < 2300 (^ Яе < 3,35), соответствует ламинарному режиму движения. При этом коэффициент сопротив-ления не зависит от шероховатости стенки трубы.
а Ак1тр (потеря напора, расходуемого на преодоление сил трения)
определяется формулой (4.68):
Дй£ = X -—,
тр тр а гя
поэтому А^ьгр ~ иср.
Вторая и третья области соответствуют турбулентному режиму движения.
Вторая область отвечает случаю гидродинамически гладких труб. При этом Хтр также не зависит от шероховатости трубы, и его за¬висимость от числа Яе удовлетворительно описывается формулой
(5.27) :X = 0,3164 полученной для гладких труб (в логарифмичес-
тр Яе0,25
ср
ких координатах, использованных на рис. 5.7, она изображается пря-мой линией). Протяженность этой области оказывается больше для случая с меньшей шероховатостью трубы. В этой области с учетом формул (5.15) и (5.27) имеем:
ДЯ^ ~ и1,75.
В третьей области, относящейся к большим значениям числа Яе, Хтр не зависит от числа Рейнольдса, а определяется значением шеро-ховатости стенок трубы, причем с ростом последней, Хтр возрастает.
В этой области в соответствии с формулой (4.68) величина потери напора пропорциональна квадрату скорости: ДНЬ ~ и2 . Поэтому дан-
тр ср
ную область принято называть областью квадратичного сопротив-ления (или областью развитой шероховатости).
Между первой и второй областями находится участок перехода из ламинарного в турбулентный режим движения жидкости соот-ветствующий интервалу значений числа Рейнольдса:
2300 < Яе < ~ 4000.
Аналогично между второй и третьей областями находится про-межуточная область, в которой Хтр зависит как от числа Яе, так и от
шероховатости трубы. В этом случае А^ьгр пропорционально скорос¬ти в степени т: Ак^ ~ Цр, где 1,75< т < 2,0.
Особенности зависимости А,трот числа Яе при турбулентном ре-жиме движения можно объяснить характером обтекания бугорков ше-роховатости, а также можно отметить наличие двух существенно раз-личных режимов (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Условия обтекания бугорков шероховатости: а) А << 8*;
б) А >> 8*.
В случае турбулентного движения ядро потока характеризуется
турбулентностью, а у поверхности стенки за счет значительных сил
трения, обусловленных вязкостью, возникает тонкий слой, в котором
движение носит ламинарный характер. Это так называемый лами¬*
нарный подслой о .

*
При относительно низких значениях числа Рейнольдса А < 8 , поэто¬му бугорки шероховатости полностью покрыты ламинарным подсло¬ем и их обтекание не сопровождается возрастанием сопротивления.
В данном режиме шероховатость не влияет на коэффициент соп-ротивления и труба с шероховатыми стенками в гидродинамическом отношении аналогична гладкой трубе (см. рис. 5.8, а). При этом коэф-фициент сопротивления ^тр рассчитывается по уравнению Блазиуса
(5.27) .
*
Толщина ламинарного подслоя 8 уменьшается с ростом числа
Яе и при достаточно больших его значениях достигается условие
*
второго режима, при котором А >8 . В этом случае (рис. 5.8, б) бугорки обтекаются полностью турбулентным ядром потока с обра¬зованием вихрей (как плохо обтекаемые тела). В таких условиях Хтр не зависит от числа Яе и определяется только шероховатостью трубы (область квадратичного сопротивления, т. е. третья область на графи¬ке Никурадзе).
В этой области для оценки коэффициента сопротивления можно воспользоваться формулой Прандтля:
0, 25 . (5.28)
“тр
V
Рассмотренные особенности влияния шероховатости стенок тру-бы на коэффициент гидравлического сопротивления в области тур-булентного режима движения, как отмечалось выше, были выявлены при использовании равнозернистой искусственной шероховатости. Естественная техническая шероховатость, образующаяся при изго-товлении и различных ее изменениях в процессе практической экс-плуатации труб, не является равнозернистой. В этом случае высота, форма и плотность ее распределения по поверхности трубы будет различной. Для оценки технической шероховатости используют по-нятие эквивалентной шероховатости @э. Под эквивалентной шеро-ховатостью понимают такую равнозернистую шероховатость, при которой в квадратичной области сопротивления совпадают значения Хр, полученные на графике Никурадзе (см. рис. 5.7), и в случае рас-сматриваемой трубы. Для оценки эквивалентной шероховатости мож-но воспользоваться следующей формулой.
1§ Д э = ^ а + 0,57 — 0,у/1Гр. (5.29)
При этом для труб промышленного изготовления независимо от области турбулентного режима движения расчет коэффициента соп-ротивления можно осуществить по формуле, предложенной Альт- шулем:
Расчет Хтр в квадратичной области сопротивления можно прове¬сти также по формуле Шифринсона (при Re^ > 500 d/Aj):
fD ^0’25
V d у
6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ
СЛОЙ
6.1. ПОНЯТИЕ О ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Ранее рассматривалась модель идеальной жидкости, в которой отсутствует вязкость, поэтому при движении в ней не возникают силы внутреннего трения. Однако в потоке реальной жидкости, включая случаи, когда вязкость жидкости мала и в ядре потока можно пренеб-речь силами трения, считая такую жидкость идеальной, существует тонкий слой, прилегающий к поверхности твердого тела, на который указанное приближение не распространяется.
В этой достаточно узкой области потока сказывается тормозящее влияние поверхности и наблюдается резкое изменение скорости в направлении нормали к поверхности от нулевого значения (ипов = 0) до значения скорости в ядре потока, т. е. вдали от поверхности (рис. 1.2). При этом возникают большие градиенты скорости, что, с учетом закона Ньютона (1.3), определяет появление в этом слое значи¬тельных сил трения, которыми пренебречь нельзя. Этот тонкий слой жидкости получил название гидродинамического пограничного слоя.
С другой стороны, деление жидкости на ядро потока (в котором можно пренебречь силами трения и рассматривать в этой области жидкость как идеальную) и пограничный слой (в котором сосре-
доточены все силы трения) позволяет существенно упростить анали¬тическое решение уравнения Навье-Стокса и проинтегрировать его.
Явления, происходящие в гидродинамическом пограничном слое, играют решающую роль в определении гидродинамического сопро¬тивления при движении жидкости и, как будет показано далее, ока¬зывают существенное влияние на интенсивность процессов тепло- и массообмена, протекающих между жидкостью и поверхностью твер¬дого тела.
Движение жидкости в пограничном слое в зависимости от числа Рейнольдса может быть как ламинарным, так и турбулентным.
6.2. УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО
СЛОЯ
Рассмотрим для простоты двухмерное обтекание плоской гори¬зонтальной поверхности тела несжимаемой жидкостью. Направим ось х вдоль поверхности по направлению потока, а ось у — перпенди¬кулярно к поверхности (рис. 6.1). Будем полагать поток стацио¬нарным и массовые силы отсутствующими.
Тогда уравнения Навье-Стокса (4.40) и уравнение неразрывности (4.19) принимают вид:
Эх Эу
Обозначим скорость за пределами пограничного слоя (скорость на¬бегающего потока) через и.
Поскольку вне пограничного слоя жидкость рассматривается как идеальная, движение частиц которой происходит без угловой
деформации и, следовательно, не сопровождается вращением, то в указанной области поток можно считать потенциальным (т.е. безвихревым).
Преобразуем систему уравнений
(6.1) к безразмерному виду, вос¬пользовавшись для этой цели в качестве масштабных множите¬лей протяженностью поверхнос¬ти тела в направлении обтека¬ния Ь и скоростью набегающего
потенциального потока V.
В качестве масштаба измерения давления выберем удвоенный динамический напор потока рЦ2.
Тогда имеем: я = Ьх; у = Ьу;их = иьх;ьу = иьу;р = ри2р.
Подставив соответствующие величины в первое из уравнений системы (6.1), получим:
Придав аналогичный вид второй компоненте системы (6.1), также преобразуя к безразмерной форме уравнение неразрывности и заме¬чая, что ЦЬ/У = Яе — число Рейнольдса, определенное по скорости набегающего потока, получим:
ЭVx + dVy _ 0
Э x d y
Такая форма записи уравнений движения удобна для осущест-вления анализа порядка величины отдельных членов, входящих в эти уравнения, и для выявления тех упрощений, которые могут быть сде-ланы при применении этих уравнений к пограничному слою.
Обозначим толщину пограничного слоя через 5 и будем пони¬мать под этой величиной то расстояние от поверхности, на котором скорость становится близка к скорости основного ядра потока U (см. рис. 6.1).
Прежде чем приступить к анализу уравнений (6.2), отметим, что безразмерная координата x изменяется в пределах от нуля до еди¬ницы (при х = L). Безразмерной координатой y приходится в данной задаче оперировать только в пределах пограничного слоя, где ее значение изменяется в интервале от нуля до 5, здесь 5 = 5 /L — безразмерная толщина пограничного слоя.
Безразмерная компонента скорости Vx изменяется в пределах от нуля до единицы (при ux= U, т. е. на внешней границе пограничного слоя).
Обратимся далее к уравнению неразрывности:
ЭУХ + dVy _ о
Э x Э y
Определяя порядок производной диХ как отношение предель-
д х
ных изменений величин их и х, находим, что она равна единице. Из
ЭИ
рассматриваемого уравнения следует, что производная _У также
Э У
имеет порядок, равный единице, а так как предельное значение без-
^ о ^
размерной координаты у равно о, то и предельный порядок вели¬чины И у должен быть таким же.
Запишем теперь под членами первых двух уравнений системы
(6.2) их порядки и при сопоставлении отдельных членов этих урав-нений друг с другом будем считать 5 << 1. Производную Эр, пос-
Э х
кольку она не связана с 6, следует рассматривать как величину ко-нечную, и ее порядок можно принять равным единице. Относительно
порядка производной Эр нельзя сделать никаких предварительных
Э У
предположений. Таким образом, можем написать:
И
1 • 1
Их
1 • 5
больше единицы. Из этого уравнения следует, что величина

— 1
текает, что порядок величины 1/Яе равен 52, а 5 —^=, или, учи-
5 5
тывая, что 5 = — , имеем: Ь
5 ~-Ь= (6.3)
УЯе
Поскольку в основе теории пограничного слоя лежит предпо-ложение о том, что число Рейнольдса, характеризующее поток, вели-ко, то из соотношения (6.З) становится очевидным, что толщина по-граничного слоя 5 представляет ничтожно малую величину по срав-нению с размерами обтекаемого тела.
Как будет показано в дальнейшем, зависимость 5 от числа Яе, выраженная соотношением (6.3), подтверждается точным расчетом.
Обратимся теперь ко второму уравнению. Порядок членов, содер-жащихся в левой части этого уравнения, равен 5, слагаемые, стоящие в скобках, после умножения на 1/Яе приобретают соответственно
порядок 5. Следовательно, рассматриваемое уравнение можно пол-ностью отбросить и, в частности, пренебречь изменением давления в пограничном слое в направлении, нормальном к поверхности, считая,
что Эр = 0. Это означает, что в принятом приближении давление в Э У
пограничном слое остается таким же, как вне пограничного слоя, и является функцией только координаты х, поэтому в первом уравнении

Эти уравнения, полученные для случая обтекания плоской по-верхности, пригодны и для искривленных поверхностей, если радиус кривизны намного превосходит толщину пограничного слоя 5. Граничные условия для указанных уравнений имеют вид: при у = 0; vx = Uy = 0;
у = 5; Ux = U. (6.6)
Так как нами рассматривается случай, когда скорость в ядре по¬тока (вдали от поверхности твердого тела) U = const (см. рис. 6.1), то
производная dU=0 и уравнения (6.5) принимают более простой вид: dx
6.3. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ ПРИ
ОБТЕКАНИИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ В ПРОДОЛЬНОМ
НАПРАВЛЕНИИ
Рассмотрим обтекание плоской пластины стационарным потоком жидкости в условиях ламинарного режима движения.
Скорость набегающего потока U = const (рис. 6.2).
У поверхности пластины образуется пограничный слой жидкости 5, движение в котором описывается системой дифференциальных урав-нений Прандтля (6.7).
Наиболее простой, но приближенный метод решения системы уравнений (6.7) основан на сведении этой системы к так называемому уравнению Кармана.
(6.9)
м
Зу
Уравнение Кармана решается с учетом граничных условий (6.8). Для решения уравнения (6.9) не¬обходимо найти вид функциональ¬ной зависимости их = /(у) в погра¬ничном слое 6.
Если распределение скорости в пограничном слое выразить при по¬мощи полинома, то в соответствии с числом граничных и дополнительных условий, привлекаемых к решению рассматриваемой задачи (6.8), этот полином должен иметь четыре члена:
их = а0 + а1 у+а2 у 2 + а3 у3.
Применяя к полиному (6.10) поочередно условия (6.8), получим: а0 = 0, а2 = 0;
а16 + а353 = и;
а1 + 3а352 = 0. (6.11)
3 и 1 и
Из последних двух уравнений находим: а = • а3 =
1 2 5’ 3 253
Подставив найденные значения коэффициентов в выражение (6.10), получим уравнение распределения скоростей в пограничном слое:
Далее находим значение интеграла в уравнении (6.9):
Определим также напряжение трения на поверхности пластины тМ!, причем значение градиента скорости находим, дифференцируя уравнение (6.12) по у.
Подставляя полученные значения интеграла и т№ в уравнение (6.9), получаем следующее дифференциальное уравнение:
39 Л8 3 Ц
280 Лх 2 рЦ8
или 8Л8 =140—Лх. (6.14)
13 и
Постоянная интегрирования С должна быть равна нулю, пос-кольку при х = 0; 8 = 0.
Следовательно, окончательно имеем:
8 = 4,64 Л у. (6.15)
Из уравнения (6.15) видно, что толщина ламинарного пограничного слоя растет по мере удаления рассматриваемой точки от передней кромки пластины по параболическому закону (см. рис. 6.1, 6.2).
Умножив и разделив правую часть уравнения (6.15) на у/Х, можно придать ему более удобную форму:
5 = 4,64 ,Х , (6.16)
где ЯеХ = ихЫ — значение числа Рейнольдса, отвечающее расстоянию Х от передней кромки пластины.
Это равенство подтверждает общую зависимость (6.3), получен-ную из анализа безразмерной формы уравнения Навье-Стокса.
Подставляя выражение (6.16) для 5 в равенство (6.13), находим значение напряжения трения на поверхности пластины как функцию Х:
Т,,, = 1и = ->и = 0,324. (6.17)
2 5 2-4,64 пх V Х
V и
При точном решении уравнений (6.7) пограничного слоя вместо (6.17) получим:
Часто вместо силы сопротивления оперируют коэффициентом сопротивления (трения) С, который показывает, какая доля ско-ростного напора расходуется на преодоление среднего напряжения
силы трения Т
UL/v — число Рейнольдса, определенное по длине пластины
6.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ ПРИ
ОБТЕКАНИИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ
Ранее было показано [уравнение (6.15) или (6.16)], что по мере удаления от передней кромки пластины толщина пограничного слоя 6 растет. При этом увеличивается и выраженное через 6 число Рей-нольдса: Re6 = U6/v. За сечением, в котором это число достигает критического значения Re§ = Reg^, течение в пограничном слое ста-новится турбулентным (рис. 6.3).
Однако и в этом случае в непосредственной близости к поверх-ности пластины движение остается ламинарным. Данная область течения жидкости представляет собой знакомый нам ламинарный подслой.
Перестройка ламинарного пограничного слоя в турбулентный в действительности совершается не сразу в критическом сечении, а в некоторой, следующей за ним, переходной области.
Значение числа Reg^ зависит от состояния поверхности (степени ее шероховатости) и степени турбулентности набегающего потока.
По имеющимся экспериментальным данным можно принять, что для пластины Reg^ = 1650 — 5750.
Указанным пределам для Яе8кр отвечают следующие значения числа Re^ = Ux^Jv, выраженного через координату х критического сечения: Re^ = 9 104 — 1,1- 106.
При больших значениях числа Re = UL/v хкр может оказаться величиной, относительно малой по сравнению с длиной пластины L. Так, например, при Re = UL/v = 107 и Rex кр = 105 будем иметь:
хкр Re х кр 105
=—хкр = ^ = 0,01.
L Re 107
Это означает, что длина ламинарного участка пограничного слоя составляет всего лишь один процент длины пластины. В подобных случаях наличием этого участка пограничного слоя можно пренеб¬речь и считать его турбулентным для всей длины пластины.
Для описания поля скоростей в турбулентном пограничном слое применяют законы распределения скоростей для турбулентного дви-жения в цилиндрической трубе, как логарифмический, так и степен-ной. Мы ограничимся применением степенного закона.
Заменив в уравнениях (5.27) обозначение осредненной скорости

Соотношение (6.21) выражает распределение скорости по толщи-не турбулентного пограничного слоя.
Опуская подробный вывод, укажем, что использование равенства (6.21) совместно с уравнением Кармана (6.9), которое для турбу-лентного пограничного слоя имеет тот же вид, что и для ламинарного слоя, позволяет получить выражение для толщины турбулентного
Из уравнения (6.22) видно, что толщина турбулентного погранич-
4/5
ного слоя растет пропорционально х , тогда как при ламинарном пограничном слое [уравнение (6.15)] она меняется пропорционально л/х.
Следовательно, турбулентный пограничный слой растет по коор-динате х более интенсивно, чем ламинарный.
На основе уравнения (6.22) для толщины пограничного слоя по-лучено выражение для коэффициента сопротивления при турбулент-ном течении вдоль пластины:
Сравнение этой формулы с формулой (6.20) показывает, что в турбулентном пограничном слое коэффициент сопротивления значи-тельно выше, чем в ламинарном. Так, например, если Яе = 106, коэф-фициент сопротивления при ламинарном пограничном слое согласно
1 328
Cf =^L = 1,328 10-3, тогда как по V106
т. е. в четыре с лишним раза больше, чем при ламинарном слое.
Таким образом, переход ламинарного пограничного слоя в тур-булентный сопровождается достаточно резким увеличением коэффи-циента сопротивления.
Опыты показывают, что формула (6.23), как и лежащий в ее основе закон корня седьмой степени, применимы лишь при не слишком больших числах Рейнольдса (<10 ). При более высоких значениях Яе эта формула дает заниженные результаты. Хорошее согласие с экспе-риментом для чисел Яе, больших 10 , дает эмпирическая формула Фолкнера:
Ламинарный подслой
Так как у поверхности турбулентность исчезает, то Прандтль выдвинул гипотезу, что между поверхностью твердого тела и тур-булентным пограничным слоем существует ламинарный (или вязкий) подслой толщиной 6* (рис. 6.3).
В ламинарном подслое отсутствует турбулентное перемешивание и ламинарный режим движения обусловлен значительными силами трения при ц >> цтур6. Наоборот в основном ядре потока, молеку-лярной теплопроводностью и трением можно пренебречь в сравнении с интенсивностью турбулентного обмена: ц << цтурб, X << Хтурб. Таким образом интенсивность теплообмена лимитируется молеку-лярным переносом теплоты в вязком подслое у поверхности твердого
тела, и ее увеличение возможно за счет интенсификации процессов переноса именно в ламинарном подслое.
В пределах ламинарного подслоя от у = 0 до у = 5* скорость их меняется линейно от 0 до и*. Для оценки толщины ламинарного подслоя 5* и скорости на его границе и* можно использовать эмпи-рические формулы:
5* = 194—5— ■
Яр0,7’
ке х (6.25)
= 2,12 и ~ ЯеХд’
6.5. ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ ПЛОХООБТЕКАЕМЫХ ТЕЛ
В отличие от пластины при обтекании тел с искривленными по-верхностями давление не остается постоянным вдоль поверхности, а меняется с изменением скорости во внешнем по отношению к погра-ничному слою потоке идеальной жидкости (т. е. вдали от поверх-ности) в соответствии с уравнением Бернулли (4.63) [см. рис. 6.4].
В точке набегания потока скорость минимальна, а давление имеет максимальное значение.
По мере удаления от точки набегания потока скорость будет рас-ти, а давление уменьшаться до некоторого минимального значения (в точке М на рис. 6.4). В дальнейшем скорость во внешнем потоке на-чинает уменьшаться, а давление соответственно возрастать.
Такое распределение давления вдоль обтекаемой поверхности вы¬зывает изменение картины распределения скоростей в пограничном слое по мере перехода от лобовой части тела к кормовой.
пограничного слоя.
Образование вихрей на кормовой стороне поверхности сопро-вождается понижением давления. Вследствие этого между лобовой и кормовой частями поверхности возникает перепад давления, пропор¬
сопротивлением давления, или лобовым сопротивлением.
Сопротивление давления, которое прибавляется к сопротивле¬нию, обусловленному вязкостью, часто во много раз превосходит последнее. При достаточно больших значениях числа Рейнольдса оно может составить до 90 % общего сопротивления.
Типичными плохообтекаемыми телами являются шар и цилиндр, обтекаемый в поперечном направлении.
Если обтекание такого тела происходит с образованием лами¬нарного пограничного слоя, то точка отрыва располагается впереди экваториального сечения, примерно под углом ф = 82 — 83° к нап-равлению потока (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Обтекание шара или цилиндра при образовании ламинарного (а) и турбулентного (б) пограничного слоев При Яе = > Яекр (где с1 — диаметр шара или цилиндра) ламинар¬
ный пограничный слой переходит в турбулентный, в котором части¬цы жидкости благодаря более интенсивному обмену запасом кинети¬ческой энергии, в сравнении с ламинарным слоем, могут продвинутся несколько дальше в области растущего давления.
По этой причине точка отрыва смещается за экваториальное се¬чение до ф = 120 -140°.
При этом сужается вихревая область, что приводит к уменьше¬нию лобового и, следовательно, общего гидродинамического сопро¬тивления.
Таким образом, турбулизация пограничного слоя у поверхности плохо обтекаемых тел вызывает значительное понижение сопротив¬ления, тогда как для хорошо обтекаемых тел этот процесс, наоборот, сопровождается ростом сопротивления. Это явление называется кри¬зисом сопротивления или кризисом обтекания.
Часто, чтобы вызвать кризис обтекания, прибегают к искус¬ственной турбулизации течения в пограничном слое. С этой целью устанавливают, например, впереди шара решетку, которая турбули- зует поток. Такого же эффекта можно добиться, если надеть на пе¬реднюю часть шара узкое проволочное кольцо.
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ
7.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНОЙ И КОНВЕКТИВНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Закон молекулярной теплопроводности Фурье (2.1) описывает стационарные процессы переноса тепла в неподвижной среде. Мы перейдем к рассмотрению нестационарных процессов теплообмена. В этих процессах основной интерес представляет изменение темпера¬туры с течением времени, что на языке математики может быть опи¬сано с помощью производной йТ/Ж. Наша задача состоит в том, чтобы определить эту производную для любой точки пространства, в кото¬ром происходит теплообмен.
Рассмотрим вывод дифференциального уравнения молекулярной теплопроводности, который можно получить на основе закона сохра¬нения энергии.
Как известно, молекулярный перенос тепла происходит в твер¬дых телах и неподвижных жидкостях или газах.
Однако если жидкость или газ находятся в неоднородном темпе¬ратурном поле, то движение возникает за счет свободной конвекции и конвективный перенос тепла может быть в этом случае определяю¬щим.
Рассмотрим твердое тело, нагреваемое внешним источником и, следовательно, находящееся в неоднородном температурном поле.
По мере удаления от точки набегания потока скорость будет расти, а давление уменьшаться до некоторого минимального значения (в точке М на рис. 6.4). В дальнейшем скорость во внешнем потоке начинает уменьшаться, а давление соответственно возрастать.

Рис. 7.1. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности Для вывода дифференциального уравнения выделим элемент объема тела в форме параллелепипеда с размерами ребер Ъх, Ъу, Ъг (рис. 7.1)
и найдем количество тепла А^1, которое поглощается элементарным объемом за бесконечно малый промежуток времени Ш. Поскольку за время Ж температура нашего элементарного объема изменится лишь на дифференциальную величину ЖТ, его теплофизические характе-ристики (X, р и Ср) можно считать постоянными.
Пользуясь законом молекулярной теплопроводности Фурье (2.1), составим тепловой баланс для выделенного элемента. Рассмотрим расчет в качестве примера тепловых потоков через грани, нормальные к оси х.
Тепловой поток, входящий в элемент в направлении координаты х за время Сг, составит dQx, а выходящий соответственно — СОх+ьх.
Разность входящего и выходящего из элементарного объема теп-ловых потоков составит:
(с° )х СОх dQx+Ьx■
Пользуясь разложением в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами разложения вследствие малости Ьх, имеем:
СОх= СОх +ЭО! 8х.
Эх
Тогда (СО1) х =—0^Ях1 §х
ох
Количество тепла, входящее в левую грань элементарного парал-лелепипеда, подсчитаем с помощью закона молекулярной теплопро¬Ст О
водности Фурье (2.1): q = — X—, где q=(Вт/м2)
Сп £ • г
Тогда выражение для входящего теплового потока СОх получим в виде: СОх = Ях Сг,
Эт
СО =—X—5у 5zСг ^х Эх У
Э Эт
(СО1)х =——(—X—5у 5zСг) Эх. Эх Эх
Аналогично имеем:
Э 2 т
(ад1) у — х—шг;
У Эу2
Э 2т
(ад1) _ = х — а шаг,
Эz 2
где ЬУ- элемент объема.
Таким образом, количество тепла, поглощенное элементарным объемом за время аг, равно:
2т Э 2т Э 27\2Т,, ад — х (—I 1—) ьшаг,
Эх2 Эу2 Эz2
Это же количество тепла с учетом закона сохранения энергии можно также подсчитать с учетом изменения температуры элемента:
ад1 = ср Ьт ат,
или ад1 = ср р ЬУ ат.
Установим связь изменения температуры со временем:
ат -У аг.
Эг (7.3)
Тогда получим:
ад’= ср р ЬУ ЭГ аг. (7.4)
Приравнивая правые части уравнений (7.1) и (7.4), находим:
Эт = х у 2^ Эг Ср р (7.5)
или — — а V2Т .
Эг (7.6)
Это уравнение называется дифференциальным уравнением молеку¬лярной теплопроводности Фурье. Оно устанавливает связь между
временным и пространственным изменениями температуры при рас-пространении тепла в неподвижной среде.
Если внутри рассматриваемого элемента имеется дополнитель¬но источник тепла с объемной производительностью Qв (Вт/м3), то за время & в элементе объема ЬУ выделится QвЪVdt (Дж). Это коли-чество тепла должно быть учтено в общем тепловом балансе.
В таком случае имеем:
Ср р ЬУэг& = 1 Ч2Г ЬУ& + Ов ЬУ&/,
откуда, после сокращения на ЬУ & и деления обеих частей уравнения на Срр, получим дифференциальное уравнение молекулярной теп¬лопроводности при наличии внутренних источников тепла:
—=а V 2Г + -°-
Э/ Ср р
Если неоднородное температурное поле в неподвижной среде поддерживается постоянным во времени, то для любой точки среды
ЭТ = 0 и уравнение (7.6) для молекулярной теплопроводности при Э/ отсутствии внутренних источников тепла принимает вид:
V 2Т = 0. (7.8)
Это выражение называют уравнением Лапласа. Из него следует, что характер температурного поля в неподвижной среде в отсутствие внутренних источников тепла не зависит от физических свойств сре¬ды. Иногда уравнение Лапласа используют и для нестационарных процессов с целью определения мгновенного распределения темпе¬ратуры в сплошной среде.
Если перенос тепла происходит в движущейся среде, то тепло переносится вместе с массами движущейся жидкости и имеет место конвективный теплообмен. Дифференциальное уравнение конвек¬тивной теплопроводности можно вывести аналогичным способом, который мы использовали для получения дифференциального урав¬
нения молекулярной теплопроводности. Но мы должны учесть, что при рассмотрении теплообмена в движущейся среде полная произ-водная от температуры по времени будет складываться как из локаль-ной, так и из конвективной составляющих.
Действительно, если частицы жидкости движутся, то через каж-дую точку пространства за время Ж будут проходить разные частицы, и если температурное поле неоднородное, то при вычислении про-
ЖТ _ЭТ + дТЖх + ^Т^У + ЭТ Жг Ж Эг Эх Ж Эу Ж Эг Жг ’
ЖТ ЭТ ЭТ ЭТ ЭТ
или —_ 1 и + и + и .
Жг Эг Эх х Эу у Эг 2
Окончательно имеем:
Таким образом, в случае конвективного теплообмена в уравне-нии Фурье следует заменить локальную производную на полную, т. е. дополнить локальную составляющую конвективной производной:
ЭТ 2
— + (и-У)Т _ а V 2Т. (7.10)
Эг
Последнее уравнение именуется дифференциальным уравнени¬ем конвективной теплопроводности Фурье (или Фурье-Кирхгофа).
Поскольку в уравнение конвективной теплопроводности входит скорость потока, при анализе процессов конвективного теплообмена уравнение Фурье должно быть дополнено основными уравнениями гидродинамики: уравнением движения вязкой жидкости Навье- Стокса (4.38) и уравнением неразрывности (4.19). Для несжимаемой жидкости, наиболее часто используемой на практике, эти уравнения имеют вид:
&у и = 0.
7.2. ВРЕМЕННЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ТЕПЛОВОЙ ЗАДАЧИ
Для решения дифференциального уравнения Фурье требуется двукратное интегрирование, следовательно, решение будет содержать две произвольные постоянные.
Отсюда следует, что уравнение имеет множество решений, опи-сывающих семейство тепловых явлений. Для того чтобы получить однозначное решение для конкретной тепловой задачи, необходимо задать так называемые условия однозначности, т. е. ряд допол-нительных условий, которые выделяют рассматриваемое тепловое явление из множества подобных.
Условия однозначности включают:
— геометрические условия, определяющие форму и размеры пространства, в котором протекает тепловой процесс;
— физические условия, задающие теплофизические свойства среды (теплоемкость, плотность, теплопроводность);
— временные условия, которые характеризуют распределение температуры в пространстве в определенный момент времени;
— граничные условия, формулирующие условия теплообмена на границе раздела двух сред.
Условия однозначности — это, следовательно, данные, которые задаются в условии задачи. Временные условия чаще всего являются начальными, так как задают распределение температуры в начальный момент времени, причем используются только в случае нестацио-нарных процессов и исключаются для стационарных. Математи-
ческая формулировка временного условия: То= / (х, у, 2) для г = го (обычно г = 0).
Граничные условия могут быть заданы тремя способами.
Граничное условие первого рода сводится к заданию распреде-ления температуры на поверхности рассматриваемого тела как фун-кции координат поверхности и времени:
Тп = /(х, у, 2, г).
Граничное условие второго рода заключается в задании распре-деления плотности теплового потока на поверхности тела как функ-ции координат и времени:
Уп = / (х, у, 2, г).
Наибольшее практическое значение имеет граничное условие третьего рода, которое формулируется на основе закона сохранения энергии на границе раздела «твердое тело — окружающая среда» (газ или жидкость). Это условие заключается в задании температуры сре¬ды Тср, контактирующей с поверхностью твердого тела (имеющей температуру Тп), и закона теплообмена на границе двух сред.
Для определенности будем считать, что Тср > Тп, т. е. тепло переносится от среды к поверхности твердого тела. На границе раздела двух сред можно выделить два тепловых потока: от среды к поверхности тела и поток, распространяющийся внутри поверх-ностного слоя твердого тела.
На основе закона сохранения энергии плотности этих двух теп-ловых потоков должны быть равны.
Плотность теплового потока в твердом теле можно подсчитать по закону молекулярной теплопроводности Фурье:
¿Т\
У = -^ (“Г)п, ап
где градиент температуры берется в тонком поверхностном слое твердого тела.
Плотность теплового потока от среды к поверхности твердого тела на границе сред рассчитывают по закону теплообмена Ньюто¬на — Рихмана:
Я = а (Тр — Тп) (7.11)
Согласно уравнению (7.11) закон теплообмена устанавливает порциональность между плотностью теплового потока и темпера-турным напором на границе двух сред. Коэффициентом пропорцио-нальности служит величина, называемая коэффициентом теплоот¬дачи или теплообмена. Размерность коэффициента теплоотдачи сле¬дующая: [а] = Дж/(м2- с- К) = Вт/(м2- К).
Коэффициент теплоотдачи — это плотность теплового потока при единичном температурном напоре (единичном перепаде температур между твердым телом и контактирующей средой).
В отличие от коэффициента теплопроводности, коэффициент теп-лоотдачи не является теплофизической характеристикой среды. Его численное значение определяется условиями теплообмена на границе раздела двух сред: скорости обтекающего потока, характера потока (ламинарный, турбулентный), формы обтекаемого тела, природы контактирующих фаз и др. Среди этих факторов решающая роль принадлежит скорости движения жидкости или газа и природе контактирующих сред.
Приравнивая плотности двух тепловых потоков на границе раздела двух сред, получим математическое выражение граничного условия третьего рода для процессов молекулярной теплопровод¬ности:
а (Тср — Тп)=- ^ (^-)п. (712)
оп
Если температура окружающей среды меньше температуры по-верхности твердого тела, направление переноса тепла меняется на противоположное, вследствие чего в уравнениях (7.11) и (7.12) вели-чины Тср и Тп следует поменять местами.
Граничные условия для дифференциального уравнения конвек¬тивной теплопроводности Фурье устанавливают значения скорости и температуры поверхности раздела между жидкостью и обтекаемым ею твердым телом. Граничное условие для скорости вязкой жидкости — равенство ее нулю на поверхности твердого тела.
Граничное условие для температуры фиксирует тот факт, что слой жидкости, непосредственно омывающий поверхность твердого тела, имеет такую же температуру, как и сама поверхность.
Для решения задач конвективного теплообмена широко исполь¬зуется граничное условие третьего рода. В нем также приравниваются две плотности теплового потока, как и для процессов молекулярной теплопроводности. Первая из них характеризует перенос тепла от сре¬ды к поверхности обтекаемого твердого тела:
Я = а (Тср — т).
Эта плотность теплового потока приравнивается к плотности теп¬лового потока в тонком пограничном слое жидкости, примыкающем к поверхности твердого тела. Поскольку скорость данного слоя близка к нулю, перенос тепла в нем определяется законом молекулярной теп¬лопроводности Фурье:
Я = -ь £-)б ,
1 /вбл.пов где градиент температуры берется в тонком пограничном слое жид¬кости.
Таким образом, по внешнему виду граничное условие третьего рода для конвективной теплопроводности почти не отличается от со¬ответствующего условия для молекулярной теплопроводности:
а(Тср Т1) ^(дп )вбл. пов (713)
Однако различие в физическом содержании этих условий для моле¬кулярного и конвективного теплообмена велико. Так теплопровод¬ность в граничном условии для конвективной теплопроводности
относится не к твердому телу, как для молекулярной теплопро-водности, а к контактирующей с ним среде (жидкости или газу) и градиент температуры берется в пограничном слое жидкости, а не поверхности твердого тела.
Кроме того, коэффициент теплоотдачи в задачах молекулярной теплопроводности определяется лишь природой процесса и обычно известен из условия задачи, в то время как в задачах конвективного теплообмена а зависит также от гидродинамики потока жидкости (скорости и режима движения) и поэтому всегда является опреде-ляемой величиной.
Чтобы составить представление о порядке величины коэффици-ента теплоотдачи а, приведем его численные значения для некото¬рых процессов теплообмена (Вт/(м • К):
Вынужденная конвекция газов.. 30 — 5-10
2 з
Свободная конвекция воды 10 — 10
Кипящая вода 2-103 — 4-104
7.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНОЙ И КОНВЕКТИВНОЙ ДИФФУЗИИ
Дифференциальное уравнение молекулярной диффузии может быть выведено точно таким же путем, каким было получено диф-ференциальное уравнение молекулярной теплопроводности. Для этого нужно рассмотреть выделенный в неподвижной среде эле¬ментарный параллелепипед с гранями, нормальными к координатным осям, который находится в неоднородном концентрационном поле (рис. 7.2).
Тогда указанный элементарный объем будет пронизывать поток диффундирующего вещества, и количество вещества, входящее в па-раллелепипед, окажется больше количества вещества, выходящего из него. Задача состоит в том, чтобы найти, изменение концентрации
растворенного вещества со временем в каждой точке пространства, в котором происходит перенос вещества.

Рис. 7.2. К выводу дифференциального уравнения молекулярной
диффузии
С этой целью следует подсчитать изменение количества диффунди-рующего вещества в нашем элементарном объеме за время Ж, что можно осуществить двумя способами.
С одной стороны, количество вещества можно найти как разность массы вещества, входящей и выходящей из элементарного объема

Количество входящего вещества ^тх, dmy и dmz) рассчиты¬вается с помощью значения плотности диффузионного потока:
^т^ = ]х dS:í■ dt.
Используя закон молекулярной диффузии Фика (2.4) и опустив все промежуточные выкладки, напишем по аналогии с уравнением
(7.1):
dm1= В V2 С-ЪУ^1. (7.14)
Тоже самое количество вещества определим с учетом увели¬чения концентрации в элементарном объеме за время dt, поэтому имеем:
dm1 = dС 8У,
или йш1 = (ЭС/Эг) йг 5К. (7.15)
Приравнивая выражения (7.14) и (7.15) и производя сокращения, получаем:
ЭС=Э V 2С. Эг
Получили дифференциальное уравнение молекулярной диффузии Фика.
По своему физическому содержанию уравнение (7.16) анало¬гично дифференциальному уравнению молекулярной теплопровод¬ности Фурье. Оно выражает связь между временным и простран¬ственным изменением концентрации при переносе вещества в непод¬вижной среде.
Коэффициент диффузии В играет роль физического параметра, от которого зависит скорость изменения концентрационного поля.
Для стационарного поля концентраций ЭС/Эг = 0, уравнение (7.16) упрощается и переходит в уравнение Лапласа: УС = 0.
Условия однозначности для диффузионных задач аналогичны та¬ковым для задач теплопроводности. Временные условия задают рас¬пределение концентрации в пространстве для определенного (обычно начального) момента времени.
Граничное условие первого рода сводится к заданию концен¬трации диффундирующего вещества на поверхностности тела как функции координат и времени: Сп = /(у у, 2, г).
Г раничное условие второго рода задает плотность диффузионного потока на поверхности тела: jTV = / (у у, 2, г).
В граничном условии третьего рода для молекулярной диффузии задается концентрация диффундирующего вещества в среде Сср, а также закон массообмена между поверхностью тела и окружающей средой, форма выражения которого аналогична закону нагревания или охлаждения Ньютона-Рихмана: j = ад (Сср — Сп), 7.17)
где ад (или в) именуется коэффициентом массоотдачи (массообме¬на).
Он имеет смысл плотности диффузионного потока при единич-ном концентрационном напоре между средой и поверхностью твер-дого тела.
Подобно коэффициенту теплоотдачи а, величина ад не является физической константой и зависит от условий обтекания поверхности твердого тела окружающей средой, в первую очередь от скорости потока и режима движения жидкости или газа.
По закону сохранения массы количество вещества, поступающее благодаря массообмену из окружающей среды к поверхности твер¬дого тела (или переходящее в обратном направлении, если Сп > Сср), должно быть равно массе вещества, которое диффундирует от поверхности раздела фаз в объем твердого тела (или подводится к этой границе изнутри тела) посредством молекулярной диффузии, поэтому имеем:
Здесь градиент концентрации относится к тонкому поверхност-ному слою твердого тела. Уравнение (7.18) представляет математи-ческую форму выражения граничного условия третьего рода в случае молекулярной диффузии.
Если в уравнении (7.16) для молекулярной диффузии заменить локальную производную дС/д/ на полную производную от концен-трации по времени (аналогично рассмотренному ранее тепловому процессу), получим дифференциальное уравнение конвективной диффузии Фика:
йС дС
& д/
К уравнению переноса вещества в движущейся среде следует присоединить уравнение движения жидкости и уравнение нераз¬рывности. Для вязкой жидкости эти уравнения соответствуют соот¬ношениям (4.38) и (4.19). Выбор граничных условий в задачах кон¬вективной диффузии может определяться характером кинетики хими¬ческого взаимодействия поверхности тела с диффундирующим ве-ществом в растворе.
Если при этом скорость реакции намного превосходит скорость диффузии, то концентрация диффундирующего вещества у поверх¬ности будет близка к нулю и граничное условие примет вид:
Сп = 0.
В обратном случае, когда скорость диффузии преобладает над скоростью реакции, можно принять, что в пограничном слое жид¬кости вблизи поверхности концентрация диффундирующего вещества практически постоянна и граничное условие приобретает вид:
(^ )в6л. пов = 0.
оп
Если же твердое тело растворяется в обтекающей его жидкости, концентрация в тонком слое жидкости, омывающем поверхность, со¬ответствует насыщенному раствору и граничное условие имеет вид:
С = С
^нас-
В общем случае может быть также использовано граничное усло¬вие третьего рода для конвективной диффузии, которое по внешнему виду аналогично таковому для молекулярной диффузии:
ад (Сср — Сп )—В («ОП^вбл. пов . (7.2°)
Различие в физическом содержании состоит в том, что, во- первых, градиент концентрации относится к пограничному слою жидкости, примыкающему к поверхности твердого тела. Во-вторых, коэффициент диффузии В относится к растворенному веществу в жидкости. Также следует отметить, что в задачах конвективной диф-
фузии ад (или в) всегда является определяемой характеристикой процесса.
8. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И РАСТВОРЕННОГО ВЕЩЕСТВА
8.1. СТАЦИОНАРНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
Рассмотрим пластину толщиной 5, находящуюся в стационарном неоднородном поле температур (рис. 8.1). Если длина и высота плас¬тины значительно превосходят ее толщину, то такая пластина назы¬вается неограниченной. В теплотехнике неограниченную пластину принято именовать плоской стенкой.
Пусть заданы температуры на по¬верхностях пластины Т1 и Т2 (гранич¬ные условия первого рода). Так как тем¬пературное поле стационарное, темпе¬ратуры Т1 и Т2 являются постоянными.
Совместим направление оси х с направ¬лением теплового потока.
В нашем случае температура будет меняться только в направлении оси х, т. е. мы имеем дело с одномерной тепло¬вой задачей.
Дифференциальное уравнение молекулярной теплопроводности Фурье в этом случае представим в виде:
дГ д2Г
=а .
д дх2
Поскольку поле температур стационарное, то дТ/д? = 0 и, следо¬вательно, приходим к одномерному уравнению Лапласа:
Определим закон распределения температуры по толщине плас-тины. Для этого интегрируем дважды последнее уравнение:
dТ/dx = С1,
Т= С1Х + С2.
Постоянные интегрирования определим из граничных условий: при Х = 0; Т = Т1;
Х = 5; Т = Т2. Следовательно, имеем:
С2 = т и С1= (Т — дуб.
Подставив значения С1 и С2 в уравнение (8.1, а), получим распределе-ние температуры по толщине стенки:
(8.2)
Согласно уравнению (8.2) в стенке, не содержащей внутренних источников тепла, температура является линейной функцией от коор-динаты.
Определим далее плотность теплового потока, проходящего через пластину. С учетом закона молекулярной теплопроводности Фурье (2.1) получим:
Дифференцируя уравнение (8.2) по Х, находим: (Т _ Т2 — Т
(Х б
Таким образом, плотность теплового потока через плоскую стенку прямо пропорциональна теплопроводности материала, температурно-му напору АТ и обратно пропорциональна толщине стенки. Послед¬нее уравнение можно записать в виде:
АТ
5 /1
Сравним это уравнение с выражением для плотности электричес-кого тока, записанным в соответствии с законом Ома:
Рассмотрим единичную поверхность и сопоставим смысл величин, входящих в тепловое и электрическое уравнения. Можно видеть, что понятие плотности тока (заряд, переносимый через единичную по-верхность за единицу времени) по своему смыслу аналогично поня¬тию плотности теплового потока. В числителях правых частей урав¬нений также стоят разности соответствующих величин: перепад тем¬ператур в тепловом уравнении и перепад напряжений в электри¬ческом. Естественно приписать знаменателям уравнений родственный смысл. Так, по аналогии с электрическими процессами отношение 5/1 для тепловых процессов получило наименование теплового соп-ротивления.
Для процессов молекулярной теплопроводности 5/1 называется удельным внутренним тепловым сопротивлением плоской стен¬ки, размерность которого следующая:
Понятие теплового сопротивления существенно облегчает анализ процесса переноса тепла в многослойной стенке.
Рассмотрим плоскую стенку, состоящую из трех слоев (рис. 8.2).
Пусть толщины слоев соответственно равны 81, 82 и 83, а их теплопроводности — 11, 12, и 13. Определим д и температуры на стыках слоев.
В этом случае тепловой поток и соответственно плотность теп-лового потока есть величины постоянные. Выразим плотность теп-лового потока для каждого слоя:
С учетом уравнений (8.6) имеем:
72 = 71 — д 51 и 73 = 74 + д 5з.
Плотность теплового потока можно найти, просуммировав урав-нения (8.5 — 8.6):
Во многих случаях значения температур наружных поверхнос¬тей стенки неизвестны, а заданы лишь температуры окружающих
сред, которые их омывают (Гсрд и Тср,2), т.е. заданы граничные условия 3 рода.
При этом происходит пере¬нос тепла от одной среды к дру¬гой через разделяющую их стен¬ку. Такой процесс в теплотех¬нике называют теплопередачей (рис. 8.4) .
Для решения задачи определе¬ния температур на поверхностях стенки и плотности теплового потока в этом случае в ее условии должны быть заданы толщина стенки 5 и теплопроводность 1, а также коэффициенты теплоотдачи а! и а2.
Рассмотрим теплопередачу через однослойную стенку (см. рис.
8.4).
Пусть ГсрД > Тср,2. Для двух процессов теплообмена и процесса теплопроводности внутри пластины запишем выражение для плот¬ности теплового потока:
У = а1(тср,1 — 7’п,1); (8.9)
Тп,1 — Тп,2 У = ;
5 / X (8.10)
у = а 2 (Тп, 1 — Тср,2). (8.11)
Из этих уравнений следует:
Тп,1 Тср,1 — у/а1 ; (8.12)
Тп,2 Тср,2 + у/ а2. (8.13)
Плотность теплового потока найдем путем сложения уравнений (8.9), (8.10) и (8.11):
Тср,1 — Тср,2
Я = *—.
— + 5 / X + — а1 а2
Входящее в последнее уравнение отношение 1/а получило на¬именование внешнего теплового сопротивления плоской стенки.
Последнее уравнение можно обобщить для случая стенки, состоящей из п слоев:
Тср,1 Тср,2
1 ^ 51 1
а1 п ХI а 2
Если ввести обозначение:
1
1 1
— +1 г1- + —
а1 п Х1 а 2 то уравнение (8.14) можно представить в более простой форме:
я = К (ГСрд — ГСр,2). (8.15)
Величина К называется коэффициентом теплопередачи, что
отвечает физическому содержанию уравнения (8.15), так как оно опи¬сывает перенос тепла от одной среды к другой через разделяющую их стенку.
Единицы измерения коэффициента теплопередачи (Вт/м •К) и коэффициента теплоотдачи совпадают. Численно К определяет коли¬чество тепла, которое передается за единицу времени через единицу поверхности стенки от одной среды к другой при единичном темпе¬ратурном напоре между ними.
Температуры наружных поверхностей пластины можно найти аналитически из уравнений (8.12) и (8.13) или их определяют графически, используя понятие теплового сопротивления (рис. 8.5).
Для рассмотренного случая по оси абсцисс откладывают тепловые
сопротивления, а по оси ординат — температуры омывающих сред Гсрд и Тср,2. Последние соединяют пря¬мой линией, после чего восстанав¬ливают перпендикуляры из абсцисс, соответствующих границам раздела фаз. Их пересечение с прямой опре¬деляет температуры поверхностей пластины.
Отложив на рис. 8.5 найденные таким образом значения температур Гпд и Тп2, находим распределение температуры по толщине пластины. Показанное на рис. 8.4
распределение температур в средах, омывающих стенку, носит условный характер, поскольку в действительности оно определяется условиями обтекания стенки окружающей жидкой средой.
8.2. СТАЦИОНАРНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ СТЕНКУ
Рассмотрим неограниченную цилиндрическую трубу с внутрен¬ним радиусом Я1 и внешним радиусом Я2 (рис. 8.6). Пусть тем¬пературы внутренней и внешней поверхностей трубы Т1 и Т2 под-держиваются постоянными за счет теплообмена с обтекающими их средами. Положим, что Т1 > Т2.
В нашем случае температура будет меняться только по радиаль¬ному направлению. Тепловой поток также будет иметь только ради¬альное направление. Таким образом, тепловая задача может быть све¬дена к одномерной.
Поскольку температура в нашей задаче не зависит от 7 и <р, лап-
2
ласиан температуры V Т будет содержать только радиальную сос¬тавляющую:
Интегрируя, находим:
я
Разделив переменные и выполняя вторичное интегрирование, полу¬чаем:
Т = С1 1п Я+С2. (8.17)
Постоянные интегрирования находим из граничных условий первого рода: Я = Я1, Т =Т1;
я = Я2, Т = Т2.
Соответственно, имеем:
Т1 = С11пЯ1 + С2 ;
Т2 = С11пЯ2 + С2′
Откуда находим:
Т — Т
П — 1 2 ■г’ — т г< 1п о
С _ 1п(Я1/я2); 4 11 4 Я .
Подстановка этих выражений в уравнение (8.17) дает:
Распределение температуры в цилиндрической стенке носит логарифмический характер (8.18).
Кривая распределения температуры показана на рис. 8.6.
Вычислим далее тепловой поток через цилиндрическую стенку, для чего воспользуемся законом молекулярной теплопроводности Фурье (2.1):
ая’
При этом следует учесть, что плотность теплового потока на внутренней и внешней поверхностях стенки будет различной. Ее зна¬чение будет наибольшим для внутренней поверхности и меньшим — для внешней.
Обозначим через д* = дН (Вт) тепловой поток, пронизывающий стенку. Эта величина не зависит от цилиндрической поверхности и имеет одно и то же значение для внутренней и внешней поверхностей трубы:
д* = Я1Я1 =Я1Я1 .
Пользуясь данными, относящимися к внутренней поверхности стенки, можем написать:
1гр
д* = -М ) я=щ- 2пй,1, (8.19)
аЯ 1
где Ь — длина трубы.
Градиент температуры находим, дифференцируя уравнение (8.18) по Я:
(-т. _ т — т2
(ая} Я_Я я, 1п(Я1 / Я2).
Подставив данное выражение в уравнение (8.19), находим тепловой поток через стенку трубы:
Характеристикой интенсивности теплового потока для цилин-дрической стенки, не зависящей от радиуса цилиндрической поверх-ности, является так называемая линейная плотность теплового по¬тока [Дж/(с- м)]: ял = д*/Ь .
Из уравнения (8.20) находим:
_ 2лХ(Т -Т2)
1п( я2 / я1)
т — т2
или Ял _— 1 2 . (8.21)
^ 1п( Я2/ Я1)
2п А,
Входящая в выражение (8.21) величина
линейным тепловым сопротивлением цилиндрической стенки.
Для многослойной цилиндрической стенки в результате анало¬гичного вывода, как и для многослойной плоской стенки, получим:
где п — число слоев.
Температуры стыков между слоями определяются аналитически или графически аналогично таким же образом, как и в случае много¬слойной плоской стенки.
Если вместо температур поверхностей цилиндрической стенки за¬даны температуры контактирующих с ней сред Тср1 и Тср,2 и известны коэффициенты теплоотдачи а1 и а2 (заданы граничные условия третьего рода), то для однослойной цилиндрической стенки (см. рис. 8.6) можем написать:
2п Я2а 2
гр ^ О ГТ-Г ГТ-Г /
Температуры поверхностей цилиндрической стенки Т1 и Т2 (см. рис. 8.6) можно найти либо аналитически из уравнений (8.23). либо графически. как было показано для плоской стенки.
Для многослойной цилиндрической стенки вместо уравнения (8.24) можно написать:
Последнее уравнение перепишем в виде: Ял _ кл (Тср,1 — Тср,2),
Величина кл именуется линейным коэффициентом теплопере-дачи через цилиндрическую стенку.
Величина, обратная кл, называется полным термическим сопро-тивлением цилиндрической стенки и обозначается гл:
r =—1 1—1— ln—+ 1—, (8.26 а)
л п d1a1 2пХ d1 п d2a 2
где а1 и й2 — внутренний и наружный диаметры трубы.
Таким образом, как и в случае плоской стенки, термическое сопро-тивление теплопередачи цилиндрической стенки представляет сумму внешних термических сопротивлений и внутреннего теплового соп-ротивления стенки.
1 а2
1п и уменьшается тепловое сопротивление
1
л^ п а2а 2
Такой характер зависимости полного термического сопротив¬ления гл цилиндрической стенки означает, что существует значение й2,кр, при котором гл имеет минимальное значение (рис. 8.7). Дифференцируем гл по й2 и приравниваем производную к нулю:
Зависимость тепловых сопротивлений гл, гл,с и гл,2 от величины й2 приведена на рис. 8.7. При увеличении наружного диаметра до й2,кр тепловые потери цилинрической стенки растут.
Для уменьшения потерь тепла изолированным трубопроводом необ¬ходимо, чтобы наружный диаметр (с учетом толщины изоляции) был больше й2,кр. Это положение следует учитывать при выборе тепло-изоляции трубопроводов.
8.3. СТАЦИОНАРНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА В ЦИЛИНДРИ¬ЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ ПРИ НАЛИЧИЕ ТЕПЛООБМЕНА С
ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДОЙ
Один из экспериментальных методов определения теплопровод¬ности твердых материалов состоит в следующем. Из исследуемого материала изготавливают цилиндрический стержень радиуса Я. Зак¬репленный конец стержня нагревается источникам тепла с постоян-ной мощностью (рис. 8.8).
В стационарном состоянии производят измерение температуры в разных точках по длине стержня.
Если закон изменения температуры по длине стержня известен, мож¬но определить теплопроводность материала стержня. Установим этот закон.
Обозначим температуру нагреваемого конца стержня Т1. Будем
считать стержень достаточно длинным: Ь >> Я. Кроме того, будем пренебрегать потерями тепла с правого торца. Рассмотрим поток тепла через элементарный кольцевой слой толщиной ох. Температуру этого слоя обозначим Т.
В стационарном состоянии количество тепла, входящее в слой за счет теплопроводности (5<2вх), равно количеству тепла, уходящему в окружающую среду с боковой поверхности стержня (5^ух).
Количество тепла, уходящее за вре¬мя ( с боковой поверхности стержня, равно:
Ь(2ух = #ух 5£бок (I.
Так как дух = а (Т — ТСр);
б^бок = 2Р Я ЬХ,
то ^ух = а (Т — Тср) 2Р Я ЬХ &.
Количество тепла, которое входит в наш слой за счет теплопроводности,
подсчитаем по разности:
Используя закон молекулярной теплопроводности Фурье, имеем:
(Т
бQ = д £сеч Ж = -X—п Я 2(X
Х Х (х
Таким образом,
Э 2Т 2
бО,х = X п Я2бх (И.
вх 2 ОХ
Приравнивая количество тепла, которое входит в слой и уходит из него в окружающую среду (поскольку задача является одномерной, можно использовать символ полного дифференциала), получим:
( 2Т
а (Т — Т )2п Я бх & = X—— п Я 2бх&.
ср (х2
Анализируя последнее выражение, приходим к следующему диффе¬ренциальному уравнению, определяющему перенос тепла вдоль стер¬жня:
^ = — (Т — Т ).
Сх2 Ж ср
Считая, что коэффициенты теплоотдачи и теплопроводности яв-
2
ляются постоянными и, обозначив (2а / 1 К) = к , получим:
с 2Т
Сх2 ср
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
Т — Т = С,екх + С„е~ кк.
ср 1 2
Воспользуемся граничным условием первого рода: х = 0; Т = Т1.
Тогда имеем:
Т1 — Тср=С + С2.
Считая стержень неограниченным, запишем еще одно уравнение для определения постоянных интегрирования:
х ® ¥; Т ® ТСр.
Отсюда следует: Т — Т = Се + С
ср ср 1
—к<™
Так как е = 0, правая часть уравнения равна нулю только в том случае, если С1 = 0. Тогда приходим к следующим значениям посто¬янных интегрирования:
С = 0; С2 = Т1 — Тср.
Окончательно получаем:
Или, введя обозначение избыточной температуры (0 = Т — Т )
имеем: 0 = 01е . (8 а)
Это уравнение в полулогарифмическом масштабе в координатах 1п 0 — х выражается прямой линией (рис. 8.9). Таким образом, если в
стационарном режиме измерить температуру вдоль стержня и пост¬роить вышеуказанный график, то из него следует:
Из последнего выражения, считая коэффициент теплоотдачи известным, можно вычислить коэффициент теплопроводности мате¬риала стержня.
Если же а неизвестен, то предва¬рительно аналогичный опыт про¬водится на стержне с известным коэффициентом теплопроводно¬сти. По результатам опыта опре¬деляют коэффициент теплоотда¬чи.
Для короткого стержня дли¬ной Ь закон изменения темпе¬
ратуры по длине стержня описывается уравнением:
Количество тепла, отдаваемого стержнем в окружающую среду за еди¬ницу времени (тепловой поток), можно рассчитать по закону Фурье для сечения 5, совпадающего с левым торцом стержня:
И0
0* = —X ( “0 ) х=0 5.
ах
Поскольку с учетом уравнения (8 а) можно записать
(“0 ) х=0 = (—0>к 1—Ь ) х = 0 =—0к >
из уравнения (8 в) получим: 0* = X к 5 0!.
Для короткого стержня, длиной Ь, дифференцируя уравнение (8 б),
= 0!* Ш(И.). (8 г)
С учетом уравнений (8 в) и (8 г) для теплового потока в коротком стержне имеем: д* = X к Б 0! • Ш(кЬ), где Ш(кЬ) — гиперболический тангенс, равный:
кЬ — кЬ е — е
кЬ . —кЬ
е + е
8.4. СТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛОПЕРЕНОС В ШАРОВОЙ
СТЕНКЕ (ПОЛЫЙ ШАР)
Рассмотрим полый шар, имеющий внутренний радиус Я1 и внешний — Я2 (рис. 8.10).
Интегрируя уравнение (8.27), получим
Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 восполь¬зуемся граничными условиями первого рода (заданы температуры поверхностей шара):
1. Я = Я,; Т = Ть 2. Я = Я2; Т = Т2.
С учетом уравнения (8.28) и граничных условий находим
Подставляя значения С1 и С2 в уравнение (8.28), получим:
В соответствии с уравнением (8.29) температура в шаровой стенке меняется по закону гиперболы.
Используя закон молекулярного теплопереноса Фурье (2.1) и определяя производную йТ/йЯ путем дифференцирования уравнения
(8.29), найдем плотность теплового потока:
у \
Из уравнения (8.30) следует, что плотность теплового потока через шаровую поверхность зависит от радиуса и, следовательно, не может служить однозначной количественной оценкой теплопровод¬ности в данном случае. Поэтому далее найдем значение теплового потока Q с учетом величины поверхности шара Я = 4пЯ :
Сопоставляя уравнение (8.31) и закон Ома, устанавливаем, что выра-
представляет собой внутреннее тепловое
сопротивление шаровой поверхности (стенки).
Соответственно для многослойной шаровой поверхности, имею¬щей п слоев, получим следующее уравнение:
Если вместо температур поверхностей шаровой стенки заданы температуры контактирующих с ней сред Тср1 и Тср,2 и известны коэффициенты теплоотдачи а1 и а2 (заданы граничные условия третьего рода), то для однослойной шаровой стенки (рис. 8.10,6) по аналогии с ранее рассмотренными плоской и цилиндрической стен¬ками можем написать:
внешнее тепловое сопротивление шаровой поверхности.
В случае многослойной шаровой поверхности уравнение (8.33) имеет вид:
8.5. СТАЦИОНАРНЫЙ ПРОЦЕСС ДИФФУЗИИ
8.5.1. Плоская стенка
Уравнение (8.35) и граничные условия к нему по своему виду не отли-чаются от уравнения (8.1) и граничных условий для аналогичной тепловой задачи.
Поэтому решение данного уравнения по форме совпадает с уравне¬нием (8.2) для температурного поля в плоской стенке:
С — С
С = С + С 4 к . (8.36)
1 5
Последнее уравнение показывает, что концентрация диффунди¬рующего вещества по толщине пластины меняется линейно.
Используя закон молекулярной диффузии Фика (2.2), имеем:
ЛС
Лх
Определим градиент концентрации путем дифференцирования уравнения (8.36) и получим выражение для плотности диффузионного потока, проходящего через пластину:
С| — С2
8 / й
Здесь Ъ/й — внутреннее диффузионное сопротивление, отнесенное к единице поверхности пластины толщиной 6.
Если концентрации диффундирующего вещества на поверхнос¬тях пластины заранее неизвестны, а заданы концентрации Сср1 и Сср,2 в средах, омывающих пластину (см. рис. 8.12), и известны коэф¬фициенты массоотдачи ад1 и ад2, то по аналогии с результатами, полученными для соответствующей тепловой задачи, имеем:
(8.37)
ад,1 ад,2
Следовательно, уравнение (8.37) для плотности диффузионного потока можно переписать в виде:
7 = Кд (Сср,1 — Сср,2).
Единицы измерения коэффициента массопередачи (м/с) и коэф-фициента массоотдачи ад совпадают.
Использование диффузионных сопротивлений облегчает определе¬ние концентраций диффундирующего вещества на поверхностях пластины С1 и С2 с помощью тех же графических построений, кото¬рые подробно разобраны в соответствующей тепловой задаче (см. раздел 8.1).
8.5.2. Цилиндрическая стенка
К dК <!К
При задании концентраций С1 и С2 на внутренней и внешней поверхностях цилиндрической стенки выражения для распределения концентрации по толщине стенки и для линейной плотности диффу-зионного потока имеют вид, аналогичный уравнениям (8.18) и (8.21) соответствующей тепловой задачи:
С1 — С2
1п(—2/ —1)
В случае задания концентраций диффундирующего вещества в средах, контактирующих с внутренней и наружной поверхностями цилиндрической стенки, выражение для линейной плотности диф-фузионного потока принимает вид:
Сср,1 Сср,2
1 1 , К2 1
\ 1п \
2п Кгад1 2пБ — 2п К2ад2
Л Кдл (Сср,1 Сср,2)
где Кдл — линейный коэффициент массопередачи, равный:
Вследствие весьма малых значений коэффициента диффузии за¬дачи по стационарной диффузии в твердых телах могут встречаться лишь для очень тонких пластин и тонкостенных трубок.
Тем более редкими являются задачи, связанные с стационарной диффузией через многослойные стенки.
8.5.3. Испарение жидкой капли
Рассмотрим каплю жидкости, имеющую сферическую форму и находящуюся в неподвижной газообразной среде (рис. 8.13). Если на некотором расстоянии от нее (Ь) поместить поглотитель паров жидкости, то начнется диффузионный перенос паров с поверхности капли, который приведет к испарению жидкости. Найдем закон, по которому радиус капли будет меняться со време¬нем. С этой целью сначала составим дифференциальное уравнение испаре¬ния капли, т. е. установим связь между Я и I в дифференциальной форме.
Для этого рассчитаем массу жидкости, испаряющуюся за элементарное время Ж.
К подсчету этой массы можно подойти с двух исходных позиций. С одной стороны, массу испарившейся жидкости можно связать с тол-щиной испарившегося слоя. Если за время й испаряется слой тол¬щиной йЯ, тогда получим:
йш = Г¿V = рЖЗйЯ (8.38)
С другой стороны, испарение жидкости вызывается диффузионным пе¬реносом паров с поверхности капли и массу испарившейся жидкости можно связать с диффузионным потоком паров от поверхности капли
к поглотителю (см. рис. 8.13):
йш = ]Зй1
По закону молекулярной диффузии Фика имеем: л 4С. .
йГ
йш _- йБЛ (йС) Г _Я. (8.39)
Поскольку речь идет об одной и той же массе жидкости, можно приравнять правые части уравнений (8.38) и (8.39):
рж З йЯ _- ЭЗ йг (—) Г _Я.
йг
Откуда получим:
йЯ _-—(—)г_Яйг. (8.40)
рж йг
Для того чтобы найти градиент концентрации паров, определим мгновенное распределение концентрации. Для данного момента г это распределение можно найти с помощью дифференциального урав¬нения Фика (7.16), которое в этом случае переходит в уравнение Лапласа:
У2С = 0.
Для облегчения математического решения задачи перейдем к сферическим координатам, в которых лапласиан концентрации (для нашего случая концентрация не зависит от р и А) содержит только радиальную составляющую (рис. 8.14).
Тогда уравнение Лапласа примет вид [сравни уравнение (8. 27)]:
2 йС _ С йг С1’
йг
далее имеем: йС _ С —.
1 2
г
После второго интегрирова-
С
ния получим: С _ — 1 + С2.
г
Для нахождения постоянных ин¬тегрирования можно воспользо¬ваться граничным и добавочным условиями. Если размер капли до начала процесса мал по сравнению с расстоянием до поглотителя, т. е. Я0 << Ь, то первое условие имеет вид:
Г ® ¥; С = 0.
На поверхности капли, т. е. при г = Я, концентрация паров постоянна и ее численное значение определяется давлением насыщенного пара. Отсюда получаем второе (добавочное) условие: г= Я; С = Сп.
Из первого условия получаем: 0 _
—
Из второго условия имеем выражение: —п _ — 1 или С1 _-СпЯ .
Я
Таким образом, мгновенное распределение концентрации выражается уравнением: С _ СпЯ / г,
ЛС^ Сп
отсюда получим: ( )г_Я _- .
йг Я
Возвращаясь к исходному дифференциальному уравнению (8.40), имеем:
Р
Так как Я и / меняются противоположным образом, в уравнение следует ввести знак минус. Тогда получим:
Считая, что пар подчиняется уравнению состояния идеального газа, концентрацию паров на поверхности капли можно рассчитать через давление насыщенного пара:
М
Я мТ
где Ям — универсальная газовая постоянная.
Тогда имеем:
Я 2 = я 2 — 2 ВрнасМ г 0 ржЯмТ
На использовании последнего уравнения основан метод определения коэффициента диффузии паров жидкостей в газах. Для этого каплю исследуемой жидкости помещают на плохо смачиваемой поверхности (вследствие чего она принимает форму, близкую к сферической) и на¬крывают ее прозрачным колпаком, внутри которого создают атмосфе¬ру определенного газа.
На некотором расстоянии от капли помещают пакетик с погло¬тителем паров жидкости и с помощью катетометра наблюдают за изменением размера капли со временем.
Если на основании экспериментальных данных построить гра¬фик зависимости Я от I , то, как это следует из уравнения (8.42), должна получиться прямая линия, наклон которой составляет:
2Бр М
иог>
рж Я.т
Отсюда искомый коэффициент диффузии равен:
При расчетах коэффициента диффузии с помощью последнего уравнения следует обратить внимание на размерности входящих в него величин. Если плотность жидкости выражать в г/см3, давление насыщенного пара — в МПа, молекулярную массу М — в г/моль, то для универсальной газовой постоянной Ям следует использовать значение
о
8,314 см •МПа/ /(моль-К). Тогда коэффициент диффузии будет иметь размерность см2/с, если время / выражено в секундах.
9. ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ, ТЕПЛОВЫХ И ДИФФУЗИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ
9.1. ПОНЯТИЕ О ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Как уже отмечалось ранее, решение дифференциальных уравне¬ний гидродинамики, конвективной теплопроводности и конвективной диффузии оказывается возможным лишь для некоторых частных слу¬чаев и при существенных упрощениях. Если же характер постав¬ленной задачи исключает возможность внесения упрощений, без ко-торых эти уравнения не могут быть решены, приходится прибегать к
помощи эксперимента. Для того чтобы результаты эксперименталь¬ного исследования могли быть использованы не только в конкретном случае, для которого они были получены, но и в целом ряде ана¬логичных случаев, необходимо соблюдение определенных условий как при постановке самого эксперимента, так и при обработке полу¬ченных опытных данных. Формулирование этих условий составляет предмет теории подобия.
Понятие подобия впервые сложилось в геометрии. Как известно, две фигуры геометрически подобны друг другу, если у них пропор¬циональны сходственные линейные размеры:
Здесь подстрочные индексы обозначают сходственные линейные размеры, а верхние — принадлежность их к первой или второй фигуре. Безразмерная величина С* представляет собой константу геомет¬рического подобия.
Понятие подобия может быть распространено и на физические явления. Так, два физических явления подобны друг другу, если они протекают в геометрически подобных системах и если отношения одноименных физических величин (например, скорости, температу¬ры) в сходственные моменты времени одинаковы во всех сходствен¬ных точках этих систем.
Например, признаками кинематического подобия двух потоков жидкости являются, во-первых, геометрическое подобие траекторий движения сходственных частиц жидкости и, во-вторых, постоянство отношения скоростей соответствующих частиц жидкости в сход-
Величина Сь представляет собой константу подобия скоростных по¬лей.
Часто величинам С0 ,Си и им подобным присваивают название мас¬штабных (переходных) множителей. Они показывают, во сколько раз нужно изменить ту или иную физическую величину, отвечающую данному явлению, чтобы получить сходственную величину для по¬добного явления.
Сходственные величины, характеризующие два подобных явления, могут быть выражены и в относительных единицах. Например, выб¬рав из всех линейных размеров двух сопоставляемых фигур какую- нибудь одну пару сходственных линейных размеров, которые мы
обозначим через 00′ и 00″, и, рассматривая их как характерные, можно воспользоваться ими как единицами для измерения всех остальных сходственных размеров этих фигур.
Последние будут выражены через безразмерные величины:
/ / 0 0″ О
01 0 2 0 п . 01 0 2
°’о’ 00 ‘*0
Очевидно, что при помощи этих величин условия геометричес¬кого подобия двух фигур должны быть записаны следующим обра¬зом:
(9.3)
Действительно, преобразуя эти равенства так, чтобы в каждой части находились величины с одинаковыми подстрочными индекса¬ми, можно получить уравнения вида (9.1), выражающие условия гео¬метрического подобия.
Величины ¡е (1), ¡е (2) , ¡1 (и) именуют инвариантами геометрического подобия.
Введя обозначения £\ / /0 = *1 , £\ / £»0 _ £\ и так далее мож¬но уравнения (9.3) переписать в виде:
7-1 _ *2 = ¡1
(9.4)
Аналогичным образом могут быть выражены и условия подобия полей любой физической величины. Так, например, подобие скорост¬ных полей двух потоков жидкости имеет место при условии:
(9.5)
где V ‘0 и V «0 — значения скоростей в каких-либо двух сходственных точках сопоставляемых потоков, выбранные в качестве единиц для измерения скорости во всех других сходственных точках этих пото¬ков. Величины ¡и(1), ¡«2),., ¡ф) представляют собой инварианты подобия скоростных полей.
Обозначив безразмерные величины скоростей, входящие в урав-
/г\ ¿-\ / № /
нения (9.5), через V1, V 1, и 2 и так далее, можно эти уравнения переписать в виде:
и 1 = и 1 = и(1) • и 2 = и 2 = и( 2) ‘
и п = и и = и( п)
В отличие от констант подобия, которые остаются неизменными для всех сходственных однородных величин, относящихся к двум по¬добным явлениям, инварианты подобия меняются при переходе от одной пары сходственных величин к другой.
Инварианты подобия вида ¡¿, ги и так далее, представляющие отно¬шения однородных величин, называются симплексами (простой).
Однако при воспроизведении подобных явлений не все симп¬лексы, составленные из величин, характеризующих сопоставляемые явления, могут быть заданы произвольно, поскольку между этими величинами существуют уравнения связи. По этой причине при формулировании условий подобия между явлениями приходится преимущественно оперировать не симплексами, а инвариантами, сос¬тоящими из разнородных величин, причастных к данному явлению.
Рассмотрим в качестве примера в наиболее общей форме условие механического подобия двух потоков жидкости. Согласно второму закону Ньютона равнодействующая всех сил, приложенных к неко¬торой массе т движущейся жидкости, равна:
/ = т— . (9.7)
&
Выделим внутри этой массы жидкости какую-нибудь частицу и обозначим ее массу, скорость и действующую на нее силу соот¬ветственно через т0, и0 и /0, а время, в течение которого она проходит некоторый характерный путь, через г0. Используя эти величины как единицы измерения, получим следующие безразмерные величины:
т
т0
отсюда f = f0 f; m = m0m; v = v0v; t = t0t.
Подставив эти равенства в уравнение (9.7) и группируя все мно-жители, выбранные в качестве единиц измерения, в левой части урав-нения, преобразуем его к безразмерному виду:
Применим теперь уравнение (9.8) к двум подобным потокам жид-кости. Если частицы жидкости, характеризуемые величинами m’0, и ‘0, Ль f о и m»0, и «0, Г0, f «0, выбраны в сходственных точках этих потоков, причем массы этих частиц относятся друг к другу как конечные массы рассматриваемых систем, то безразмерные вели¬чины, входящие в уравнение (9.8), представляют инварианты подо¬бия, т. е.
f = f ; m = m ; u = u ; t = t . (9.9)
Так как по условию рассматриваемые потоки подобны, они должны тождественно описываться одним и тем же уравнением (9.8). Для этого, с учетом равенства (9.9), необходимо, чтобы безразмерный комплекс f0t0 /m0u0 был одинаков для обоих потоков, т. е.
Щ- = Ж = ¡dem. (9.10)
m0u0 m0u0
Уравнение (9.10) справедливо не только для величин, выбранных в качестве единиц измерения, но и для величин, относящихся к лю¬бым сходственным точкам рассматриваемых подобных потоков. Поэтому вместо уравнения (9.10) можно написать:
m v m» V
В общем случае численное значение этого комплекса оказывается для разных сходственных точек различным.
Величина ft/mu представляет инвариант механического подо¬бия. отличие от рассмотренных ранее инвариантов подобия, состав¬ленных из однородных величин, этот инвариант подобия представ¬ляет безразмерный комплекс, состоящий из разнородных величин. Инварианты подобия комплексного вида принято называть именами ученых, внесших заметный вклад в развитие соответствующей области науки, и обозначать двумя начальными буквами их фамилий. Их принято называть критериями или числами подобия. Полу¬ченный из закона Ньютона инвариант механического подобия назы-вается критерием (или числом) Ньютона.
= Ne = idem. (9.11а)
m u
Из приведенных рассмотрений следует, что у подобных явлений инварианты подобия имеют одинаковые численные значения.
9.2. ТЕОРЕМЫ ПОДОБИЯ
В основе теории подобия лежат три теоремы. Первая из них — теорема Ньютона, которая гласит: в подобных явлениях критерии (или числа) подобия равны.
Данная теорема впервые была получена Ньютоном для механи¬ческих явлений, позволяя выявить критерии (или числа) подобия и установить их вид.
Для этого уравнение, описывающее процесс, следует привести к безразмерному виду и выделить комплексы, составленные из мас¬штабных величин. С точки зрения моделирования эта теорема позво¬ляет ответить на вопрос: какие параметры следует исследовать на модели?
Из теоремы Ньютона следует, что на модели нужно изучать вли¬яние параметров, которые входят в критерии (или числа) подобия.
Вторая теорема подобия была установлена Федерманом и Букингемом. Согласно этой теореме: интеграл, являющийся точ¬ным решением дифференциального уравнения, может быть заме¬нен эквивалентной функцией от безразмерных комплексов (крите¬риев подобия).
Причем, если интеграл есть функция, зависящая от т размерных переменных, для выражения которых требуется £ основных единиц
измерения, ее можно преобразовать к функции ^ от т — £ безразмер¬ных комплексов. Математическая формулировка теоремы может быть представлена в виде зависимости:
^ ( к ъ к 2, к з, ■ ■ ■ , к п ) = 0, причем: п = т — £; к — /-критерий подобия.
В чем состоит практическое значение этой теоремы?
Во-первых, она устанавливает число критериев подобия, необхо¬димых для описания рассматриваемого явления. Во-вторых, она отве¬чает на вопрос: каким образом следует обрабатывать данные, полу¬ченные на модели? Из этой теоремы вытекает, что данные следует об¬рабатывать в виде уравнений связи между критериями подобия, т. е. в критериальной форме.
Третья теорема подобия установлена Кирпичевым и Гухма-
ном.
Она имеет следующую формулировку: необходимым и достаточ¬ным условием подобия физических явлений является подобие их условий однозначности и равенство критериев, составленных из величин, входящих в условия однозначности.
Таким образом, третья теорема определяет условия осуществле¬ния подобия физических явлений.
Данная теорема подобия отвечает на вопрос: какие явления и сис¬темы можно считать подобными, а значит, на какие явления и про¬цессы можно распространить результаты, полученные на модели?
Теорема Кирпичева и Гухмана вводит понятие определяющего критерия (числа) подобия — это критерий подобия, составленный из величин, входящих в условия однозначности, т. е. заданных в условии задачи.
Критерий (число) является определяемым, если в его составе присутствует хотя бы одна величина, подлежащая определению при решении задачи.
В зависимости от типа задачи один и тот же критерий может быть как определяющим, так и определяемым.
Что понимается под подобием условий однозначности? Условия однозначности будут подобны, если они содержат одни и те же физи¬ческие величины, а связь между ними устанавливается одними и теми же уравнениями.
9.3. ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Если в число Ньютона вместо равнодействующей сил, приложен¬ных к некоторой массе движущейся жидкости, последовательно вво¬дить величины отдельных сил (силы тяжести, силы трения и т. д.), то из него можно получить ряд инвариантов, определяющих условия подобия гидродинамических явлений в более детальной форме. Одна-ко для установления этих инвариантов подобия целесообразнее вос¬пользоваться более общим методом, основанным на анализе диффе¬ренциального уравнения, описывающего изучаемое явление.
В случае вязкой несжимаемой жидкости необходимо проанали¬зировать уравнение движения Навье-Стокса (4.40) и уравнение нераз¬рывности (4.19) для несжимаемой жидкости в безразмерной форме.
Плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости будем рассматривать как величины постоянные.
Выберем в качестве масштаба для измерения длины некоторый
характерный линейный размер тела ^0 (диаметр трубы, длина обтека¬емого тела и др.). В качестве масштаба скоростей выберем некото¬рую характерную скорость и0 (например, среднюю скорость по сече¬нию трубы или скорость на значительном удалении от поверхности
обтекаемого тела). За масштаб времени примем некоторое харак-терное для данной задачи время г0 (например, время, в течение ко-торого частица жидкости, выбранная в некоторой области потока, проходит какую-либо характерную длину). В качестве масштаба дав-ления примем давление р0, отсчитанное в какой-нибудь характерной точке потока. Наконец, за масштаб для измерения напряжения массо-вой силы примем ускорение силы тяжести g.
Пользуясь выбранными единицами измерения, заменим размерные переменные, входящие в уравнения (4.40) и (4.19), на безразмерные и
г=г.
£
2
Разделив первое уравнение на —0 /£0, а второе на —0/£0, преобра¬зуем эти уравнения к безразмерной форме:
Для полного гидродинамического подобия двух потоков жид-кости необходимо, чтобы они тождественно описывались уравнения-ми (9.14). Поскольку все безразмерные переменные в этих уравнениях являются для сходственных пространственно-временных точек инва¬
риантами подобия (симплексы), то для выполнения указанного требо¬вания достаточно лишь, чтобы безразмерные множители £0 / и0 ¿о, §
/и0 , ^0 /р и0 , V /и0 £0 были также одинаковы для обоих потоков жидкости. Эти величины являются сложными инвариантами гидро-динамического подобия.
Согласно третьей теореме подобия, подобными можно считать те явления, у которых подобны условия однозначности и одинаковы ин¬варианты подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности. Как уже отмечалось ранее к числу последних отно¬сятся геометрические характеристики системы, физические констан¬ты сред, существенные для данного явления, и краевые (начальные и граничные) условия. Все величины, содержащиеся в условиях одно¬значности, задаются при формулировании задачи.
Например, в случае гидродинамической задачи к числу таких ве¬личин, помимо геометрических размеров системы и физических па¬раметров жидкости, чаще всего относятся скорость, обычно зада¬ваемая через объемный расход жидкости, напряжение массовой силы и (в случае нестационарного периодического процесса движения) время, в течение которого скорость претерпевает определенный цикл изменений.
Как было указано ранее, сложные безразмерные комплексы, состоя¬щие из величин, входящих в условия однозначности и задаваемых произвольно, называются критериями (или числами) подобия. Равен¬ство этих величин является единственным и достаточным признаком подобия явлений.
К категории критериев относятся и симплексы вида, рассмот¬ренного ранее, если они составлены из задаваемых величин.
Если безразмерный комплекс, полученный из анализа дифференци¬ального уравнения, содержит хотя бы одну из величин, не входящих в условия однозначности, а подлежащих определению, то он является определяемым критерием подобия и представляет собой безраз¬мерную форму выражения определяемой величины.
Из полученных безразмерных комплексов определяющими кри-териями (или числами) гидродинамического подобия являются комп-лексы: ё £0 /и0 и V /и0 £0. Принято представлять их в следующей форме:
22 Комплексу ро /р Ы0 обычно придают форму Ар /р и0 , посколь¬ку для движения жидкости существенно не абсолютное давление в данной точке, а перепад давления вдоль потока. Так как в боль¬шинстве гидродинамических задач перепад давления является вели¬чиной, подлежащей определению, то и комплекс Ар /ри02 является величиной определяемой. Он представляет собой безразмерный пере¬пад давления Ар и называется критерием (числом) Эйлера:
Eu = -Ар- = А р, (9.17)
ри2
где величина р и2 служит маштабной единицей при измерении Ар.
Комплекс £0 / и0 (0 играет роль определяющего критерия подо¬бия только в случае периодического процесса, когда инерционные си¬лы неустановившегося движения жидкости (силы, обусловленные ло¬кальным ускорением) изменяются по какому-либо периодическому закону. Тогда время 10 представляет собой длительность одного пе-риода и задается как параметр при формулировании краевых условий. В таких случаях рассматриваемый комплекс является определяющим критерием подобия и его называют критерием (числом) Струхаля или критерием гидродинамической гомохронности:
Ы
— = Но. (9.18)
£
В случае апериодического нестационарного движения жидкости никакое характерное время ^ не может быть задано и в этих условиях комплекс и£/£ служит определяемым критерием (числом) Струхаля (или гомохронности). Оно представляет собой безразмерную форму выражения текущего времени. ¿ = ¿/(¿/и). Условие равенства этого комплекса для двух подобных нестационарных потоков определяет абсолютные значения текущего времени, когда скоростные поля ока¬зываются подобны между собою.
Полученные критерии подобия имеют определенный физический смысл. Для его выяснения обратимся снова к первому из уравнений (9.13).
Каждый член этого уравнения имеет размерность ускорения и, следовательно, представляет собой определенную силу, отнесенную к единице массы движущейся жидкости. Легко заметить, что критерий Струхаля характеризует меру отношения масштаба инерционных сил установившегося движения к масштабу инерционных сил неустанно- вившегося движения:
¿0
Критерий (или число) Фруда выражает меру отношения сил инер¬ции установившегося движения к массовым силам:
Критерий (число) Эйлера представляет меру отношения сил дав¬ления к силам инерции установившегося движения:
Ро Роро
Рро = Рро (м/с2)
и М. (м/с2)
р о р о
сила давления
сила инерции установившегося движения
В записи (9.17) критерий Эйлера выражает соотношение между перепадом давления и удвоенным динамическим напором.
Наконец, критерий (число) Рейнольдса представляет собой меру отношения инерционных сил установившегося движения к силам тре¬ния, обусловленным вязкостью:
сила инерции установившегося движения
сила трения
Таким образом, рассмотренные инварианты гидродинамического подобия выражают меру отношения соответствующих сил, действу¬ющих в данной точке движущейся жидкости.
Величины, из которых состоят полученные инварианты подобия, связаны между собой определенной функциональной зависимостью, выражаемой уравнениями (4.4о) или (9.14). Следовательно, между са¬мими инвариантами подобия также должна существовать функцио¬нальная связь. Она может быть выражена в виде:
Еи=/(Но, Бг, Яе). (9.19)
Уравнение вида (9.19) называется уравнением подобия.
В литературе это уравнение часто называют также критериальным уравнением. В общем случае оно может быть записано в форме:
р = /(Р1, р , … , р), (9.26)
где р — определяемый безразмерный комплекс; р1 — определяющий критерий (или число) подобия.
Конкретный вид этой функции может быть найден только в ре¬зультате решения соответствующего дифференциального уравнения. Несмотря на это, уравнение подобия вида (9.20) представляет опре¬деленную ценность как форма выражения связи между величинами, определяющими данное явление, которая, во-первых, дает возмож¬ность уменьшить число переменных, подлежащих варьированию при экспериментальном изучении этого явления, что достигается благо¬даря группированию этих переменных в виде комплексов, и, во- вторых, позволяет обобщить экспериментальные данные в виде ана¬логичной зависимости.
Для практических расчетов уравнениям, подобным (9.20), прида¬ют степенной вид:
тп — постоянные числа, определяемые опытным
путем.
Формулу такого типа следует рассматривать лишь как удобную форму обобщения экспериментальных данных. Она не всегда совпа¬дает с видом зависимости, получаемой при аналитическом решении дифференциального уравнения, описывающего изучаемое явление.
Условия подобия могут быть использованы для целей модели¬рования. Соблюдение в процессе моделирования одинаковых значе¬ний критериев подобия для натурного явления и его модели предо¬пределяет, как следствие, тождественность значений определяемых безразмерных величин для обоих явлений.
Возвращаясь к уравнению подобия (9.19), отметим, что для уста¬новившегося движения жидкости локальная составляющая инерци¬онной силы в дифференциальном уравнении Навье-Стокса отсут¬ствует и, следовательно, критерий Струхаля из уравнения (9.19) выпа¬дает, тогда будем иметь:
Ей = (Яе, Бг). (9.22)
Условия моделирования, требующие одновременного соблюде¬ния для натурального объекта и его модели равенства критериев Яе и
могут быть выполнены.
Предположим сначала, что в опытах на модели применяется таже жидкость и в том же состоянии, что и в натуральном объекте, так что Пм = Ун. Тогда, чтобы удовлетворить условию равенства критерия Яе, соотношение между скоростями течения жидкости на модели и в натуральном объекте должно быть равно:
в то время как для соблюдения подобия по критерию Бг необходимо выполнение соотношения:
Несовместимость этих двух требований исключает (в рассмат¬риваемом случае) возможность использования для модели жидкости с тем же значением кинематического коэффициента вязкости, что и в натуральном объекте. Соотношение между Ум и Ун должно быть оп¬ределено из критерия Яе так, чтобы одновременно было соблюдено соотношение (б), вытекающее из критерия Бг. Таким образом, нахо¬дим:
Естественно, что чем меньше будет масштаб модели, тем слож¬нее окажется подбор «модельной» жидкости. Даже при таком, напри¬мер, сравнительно большом масштабе модели, как 1/4 натуральной величины, «модельная» жидкость должна обладать кинематическим коэффициентом вязкости в восемь раз меньшим, чем «натуральная».
Подбор жидкости со столь отличной кинематической вязкостью не всегда оказывается возможным.
В тех случаях, когда строгое моделирование, характеризующееся соблюдением условий, диктуемых обоими критериями подобия (Яе и Бг), оказывается невыполнимым, прибегают к приближенному моде¬лированию. При этом руководствуются лишь одним из названных критериев, а именно тем, который для данной задачи имеет более существенное значение.
Так, например, при моделировании истечения жидкости через от¬верстия или насадки оперируют критерием Фруда, так как главную роль в этих процессах играет сила тяжести.
Для подобных случаев уравнение подобия принимает вид:
Ей = / (Бг). (9.23)
При напорном движении жидкости по трубопроводу силы тяже¬сти либо оказываются очень малы по сравнению с силой, обуслов¬ленной перепадом давления, либо вовсе не сказываются (при гори¬зонтальном расположении трубопровода). В данном случае решаю¬щую роль в определении величины перепада давления играют силы вязкости, поэтому при моделировании указанного процесса в качестве определяющего руководствуются критерием Рейнольдса, а уравнение подобия соответственно принимает вид:
Ей = / (Яе). (9.24)
В области больших значений критерия Рейнольдса, отвечающих значительному преобладанию инерционных сил над силами вязкости, в уравнении Навье-Стокса этими последними можно пренебречь. Тем самым критерий Рейнольдса окажется исключенным из числа крите¬риев, определяющих существование гидродинамического подобия.
В таком случае для стационарного движения несжимаемой жид¬кости, происходящего при больших значениях критерия Рейнольдса и в отсутствие массовых сил, критерий Эйлера становится постоянной величиной:
Eu = —Y = const. (9.25)
p^2
В этом случае для установления подобия между двумя потоками жидкости достаточно задания подобия условий однозначности.
Область значений критерия подобия, в которой он практически лишается роли определяющего критерия (числа), называется авто-модельной относительно данного инварианта подобия.
9.4. ПОДОБИЕ ТЕПЛОВЫХ ЯВЛЕНИЙ
9.4.1. Условие подобия температурных полей в твердых телах
Для отыскания критериев, определяющих подобие температур¬ных полей в твердых телах, необходимо обратиться, во-первых, к дифференциальному уравнению молекулярной теплопроводности
(7.6) и, во-вторых, к уравнению, выражающему закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (7.12). Производная (ЭТ/Эп)п в данном случае относится к тонкому поверхностному слою твердого тела.
Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности твердо-го тела 1 и а будем рассматривать как величины постоянные, т. е. не зависящие от температуры.
Следуя методу, который был показан на примере гидродинами-ческой задачи, преобразуем написанные уравнения к безразмерному виду.
Заменим переменные, входящие в эти уравнения, произведениями их масштабов на соответствующие безразмерные величины и будем
x = L о x, у = L о у, z = L о z, n = L 0 n, T = T0 T, иметь: _ _ _
AT = T0 AT, t = t01, a = a0 a,
где L0, Т0, t0 и a0 — выбранные в качестве масштабов некоторые характерные значения длины, температуры, времени и коэффициента
теплоотдачи, соответственно. Подставляя эти величины в исходные уравнения, получим:
= а-0 V2
0 2о
Разделив первое уравнение (9.26) на То/’о, а второе — на 1То/0о, придадим им безразмерную форму:
дТ _ а’о V2 Т•
а второй — критерием (числом) Био:
— _ Ш. (9.29)
X
Для процессов, в которых температура среды, окружающей рас¬сматриваемое тело, изменяется по какому-либо периодическому зако¬ну, критерий Фурье приобретает смысл определяющего критерия по¬добия, представляющего собой отношение двух характеристических длительностей: длительности ‘, определяющей продолжительность задаваемого произвольно периода изменения температуры в окру¬жающей среде, и длительности, выраженной в форме 02/а и опреде¬ляющей темп перестройки температурного поля внутри самого твер¬дого тела, поэтому критерий Фурье иногда называют критерием (числом) тепловой гомохронности.
Для периодического процесса соблюдение одинаковых значений определяющего критерия Фурье для натурального объекта и его мо¬дели является обязательной предпосылкой подобия и, следовательно, этим критерием необходимо руководствоваться при постановке эксперимента. Для апериодических процессов теплопроводности, т. е. для процессов, характеризующихся монотонным изменением темпе¬ратуры тела, комплекс ШИ1 является определяемым критерием подо¬бия и представляет собой относительную форму выражения те¬кущего времени. При помощи этого комплекса текущее время про¬цесса отсчитывается в долях масштаба, равного £2/а. Важная роль критерия Фурье в этом случае заключается в том, что он определяет соотношение времен установления подобия температурных полей на натуральном и модельном объектах.
При соблюдении геометрического подобия, подобия начальных условий и равенства критерия Б1 температурные поля в натуральном объекте и в модели будут подобны друг другу при одинаковых от¬носительных значениях текущего времени, выражаемых посредством
комплекса а1И . Абсолютные значения текущего времени, отвечаю¬щие этому условию, будут связаны между собой следующим соотно¬шением:
а
£
м
Критерий (число) Био, полученный из уравнения, формулирую¬щего граничное условие при заданном значении коэффициента теп¬лоотдачи а, сохраняет свою роль определяющего критерия подобия для любых процесссов изменения температуры в твердом теле, как периодических, так и апериодических.
Этот критерий можно рассматривать, с одной стороны, как харак¬теристику связи между температурным полем внутри тела и интен¬сивностью теплоотдачи на его границах. Такой смысл придает ему содержание уравнения (7.12). С другой стороны, этот критерий мож¬но трактовать как меру отношения внутреннего и внешнего теп¬ловых сопротивлений £/1 и 1/а (см. 9.29).
Определяемой величиной в задачах нестационарной теплопровод¬ности в твердом теле является температура Т как функция координат и времени. Обычно эту переменную вводят в состав симплекса:
Здесь Тср-температура окружающей среды, рассматриваемая как величина постоянная; Т0 — начальная температура, в простейшем слу¬чае одинаковая во всех точках тела; А = Т — Тср и А0 = Т0 — Тср — соответственно текущая и начальная температуры, отсчитанные от температуры среды и имеющие смысл избыточных температур.
Безразмерная величина А представляет собой переменную из-быточную температуру, выраженную в долях начального значения этой величины. Избыточные температуры А и А0 могут иметь как положительные, так и отрицательные значения.
Трехмерное температурное поле, характеризующееся равномер¬ным начальным распределением температуры, описывается следую¬щим уравнением подобия:
раженные в долях одного из них, имеющего значение £0 и выбранного в качестве масштаба; х /£0 , у /£0 , 2 /£0 — переменные координаты, выраженные в долях того же масштаба £0.
В такой записи уравнение (9.32) относится к случаям аперио¬дического изменения температуры, которые будут рассматриваться в дальнейшем. При изучении периодических процессов время должно быть введено в уравнение подобия дважды: один раз в составе крите¬рия Бо = а*/£о2 в качестве характеристической величины * (длитель¬ность одного периода) и другой раз в виде симплекса выражаю¬
щего текущее время в долях характеристического, т. е. в виде: х у z t
£ о £ о £ о *
Уравнение (9.32), отвечающее случаю апериодического процес¬са, представляет собой частную форму уравнения (9.32, а).
Действительно, для апериодического процесса никакого характе¬ристического времени не существует и из уравнения (9.32, а) оно должно быть исключено. Это достигается путем замены взятых по¬рознь критерия Бо и симплекса их произведением:
‘ t = а*’ * = а*
о *’ £ 2 *’ £2 °.
В результате приходим к уравнению (9.32).
Наиболее простой вид уравнение (9.32) приобретает примени¬тельно к телам, форма и относительные размеры которых позволяют рассматривать в них температурное поле как одномерное. К таким телам относятся неограниченные пластина и цилиндр, а также сфера. Каждое из этих тел имеет единственный характерный линейный раз¬мер £о.
Для пластины таким размером является ее полутолщина (£о = 5),
для цилиндра или сферы — их радиус (£о = Яо). Тот или иной из этих размеров и остается в критериальном уравнении в качестве един¬ственного геометрического параметра. Симплексы типа *1 /£о , *2 /£о , , £п /£о при этом автоматически отпадают. Исчезнут также и две
безразмерные координаты, поскольку температурное поле является одномерным.
Таким образом, для рассматриваемых случаев уравнение (9.32) приводится к виду:
— X
и = I(—,В1,Ро ). (9.33)
£ 0
В заключение необходимо сделать одно замечание, касающееся изучения температурного поля в твердом теле методом моделиро¬вания. Масштаб модели не может быть выбран произвольно. Ее характеристический линейный размер должен определяться исходя из
X
значения критерия (числа) Био: £ м = Вь
ам
9.4.2. Условия подобия процессов конвективного
теплообмена
Вынужденная конвекция
При обтекании твердого тела потоком жидкости, имеющей иную температуру, чем поверхность самого твердого тела, между ними воз¬никает процесс конвективного теплообмена.
Для определения критериев подобия, отвечающих этому процес¬су в условиях вынужденного движения жидкости (ограничимся слу¬чаем стационарного процесса и жидкость рассматривается как несжи¬маемая), следует воспользоваться системой уравнений (7.10), (4.38) и (4.23), дополнив ее уравнением, выражающим закон теплообмена между поверхностью тела и жидкостью (граничное условие третьего рода):
Уравнение (9.34) отличается по своему содержанию от аналогич¬ного уравнения (7.12), использованного в предыдущем случае, тем,
что в нем 1 представляет коэффициент теплопроводности жидкости, а градиент температуры относится к тонкому пограничному слою жид¬кости, контактирующему с поверхностью твердого тела.
Как было показано ранее, уравнение неразрывности (4.23) не дает никаких определяющих критериев, а из уравнения Навье-Стокса (4.38) вытекают определяющие критерии Яе и Бг. Действием силы тяжести в большинстве задач по обтеканию тел вынужденным пото¬ком жидкости можно пренебречь. В таком случае критерий Фруда выпадает из рассмотрения.
Следовательно, для обсуждаемого здесь стационарного процесса теплообмена в качестве единственного определяющего критерия гид-родинамического подобия остается критерий Рейнольдса.
В случае нестационарного процесса необходимо также учитывать число Струхала, которое связано с отсутствующей в уравнении (4.38) локальной производной Эи/Эг. В этом случае необходимо также вос-пользоваться и уравнением конвективной теплопроводности, напи-санным в наиболее полной форме (7.10), содержащей локальную производную ЭТ/Эг, и тогда в качестве одного из тепловых инвари-антов подобия дополнительно появляется число Фурье. Для частного, но наиболее распространенного случая стационарных задач оно отпадает. Для получения инвариантов подобия преобразуем урав¬нения (7.10) и (9.34) к безразмерному виду.
Опуская детали этого преобразования, ничем не отличающегося по своему характеру от проведенных ранее, перепишем уравнения в виде:
Отсюда получим:
^^0 (у.у)Т _ V2Т;
а
^ а ДТ X
Уравнение (9.36) дает определяющий критерий подобия
— = Ре, (9.37)
а
который именуется тепловым критерием (числом) Пекле.
Физическое содержание этого критерия непосредственно обнару¬живается, если записать его как отношение множителей при опера¬торах уравнения (9.35):
плотность теплового потока, обусловленного конвекцией плотность теплового потока, определяемого молекулярной
теплопроводностью.
Следовательно, критерий Пекле выражает меру отношения конвективного и молекулярного переносов тепла в потоке жид¬кости.
Из уравнений (9.36) также получаем безразмерный комплекс, а £
— _ №, (9.38)
X
называемый тепловым критерием (числом) Нуссельта.
Этот критерий, внешне тождественный критерию Био, характе¬ризует связь между интенсивностью теплоотдачи и температу¬рным полем в пограничном слое потока жидкости.
От критерия Био критерий Нуссельта отличается, во-первых, тем, что входящий в его состав коэффициент теплопроводности 1 отно¬
сится не к твердому телу, а к омывающей его жидкости, и, во-вторых, тем, что в нем коэффициент теплоотдачи а, как уже ранее отмеча¬лось, представляет величину искомую, а не задаваемую при постанов¬ке задачи.
Определение этой величины и является основной целью иссле-дований в области конвективной теплопроводности. Критерий Нус- сельта представляет собой безразмерную форму выражения коэф-фициента теплоотдачи.
Итак, в качестве определяющих критериев в уравнение связи должны войти критерии Яе и Ре. Но поскольку оба они имеют в своем составе скорость, то целесообразно в качестве аргумента сохранить лишь один из них (обычно сохраняют критерий Яе), а вместо другого ввес¬ти их отношение:
Ре _ь£ ь£ _ V Яе а V а
Данную безразмерную величину называют критерием (числом) Прандтля:
V
-_ Рг. (9.39)
а
Этот определяющий критерий можно трактовать как выра-жение меры подобия скоростного и температурного полей в по-токе. Отличительная особенность критерия Прандтля заключается в том, что он состоит из физических констант, зависящих только от сос-тояния данной среды. Следовательно, в целом этот критерий может рассматриваться как физическая константа.
Для газов критерий Прандтля обычно имеет значения меньше единицы. Для жидкостей диапазон значений этой величины очень широк: от нескольких единиц до нескольких тысяч. Исключение сос-тавляют жидкие металлы, отличающиеся высокой теплопровод¬ностью. Для них критерий Прандтля имеет очень малую величину (~ 10 » 3 — 10 » 2).
К числу аргументов, определяющих величину коэффициента теп-лоотдачи и эквивалентную ей величину числа Нуссельта, необходимо присоединить безразмерные геометрические размеры омываемого потоком тела:
£1 /£о , £2 /£о , …5 £п /£о •
Следует также учесть, что локальное значение коэффициента те-плоотдачи различно для разных точек поверхности и является функ-цией их координат.
Таким образом, для описания стационарного процесса теплооб-мена между твердым телом и вынужденным потоком жидкости будем иметь следующее уравнение подобия:
х у z _ 1л £2 £ п ч
Ш = / (—, —,— ,Яе,Рг, —, — ,…,— ).
£ о £ о £ о £ о £ о £ о
Для расчетных целей вместо локальных значений а обычно пользуются средним (постоянным) значением этой величины:
где Б -величина обтекаемой поверхности. В таком случае безразмер¬ные координаты выпадают из числа аргументов и уравнение (9.4о) приобретает вид:
Для тел, имеющих только один характерный линейный размер (неограниченные пластина и цилиндр, а также сфера), уравнение по-добия упрощается и принимает вид:
№Ср=/ (Яе, Рг). (9.43)
Обычно этому уравнению придают степенную форму:
№ср = Яет Ргп. (9.44)
Уравнения (9.43) или (9.44) дают возможность показать в наи-более простой форме преимущества, связанные с применением тео¬рии подобия как метода обобщения экспериментальных данных. Для
экспериментального изучения зависимости коэффициента теплоотда¬чи от определяющих его величин в простейшем случае, описываемом уравнением (9.43) или (9.44), необходимо провести всего две серии опытов, в которых бы порознь варьировались значения критериев Яе и Рг. При этом несущественно, за счет каких именно величин, входя¬щих в состав этих критериев, изменяется их значение в опыте. При выборе этих величин руководствуются соображениями удобства.
Если экспериментальное изучение рассматриваемого здесь про¬цесса проводить, не опираясь на теорию подобия, то пришлось бы исследовать зависимость вида:
«ер = I( £, и, р, т, 1, ср и др.), ( 9. 45 )
которая потребовала бы проведения шести серий опытов вместо двух.
К тому же при такой постановке исследования было бы утрачено универсальное значение полученных результатов.
На основе уравнения (9.44) можно также проиллюстрировать уменьшение числа аргументов, от которых зависит исследуемая фун¬кция, достигаемое в теории подобия посредством объединения пере¬менных величин в безразмерные комплексы.
В самом деле, задача о нахождении коэффициента теплоотдачи в процессах конвективного теплообмена сводится к уравнению (9.45),
которое перепишем в виде: ^(аср, £, и, р, т, 1, ср ) = 0.
В данном случае мы имеем дело с функцией, зависящей от семи размерных переменных (т = 7). Для выражения этих переменных тре¬буется привлечение четырех основных единиц измерения: метр, кило¬грамм, секунда, Кельвин (£ = 4).
Согласно теореме Букингема наша функция может быть прео¬бразована к функции от п = т — £ = 7 — 4 = 3 безразмерных ком¬плексов.
Следовательно, уравнение (9.45) преобразуется к зависимости между тремя безразмерными комплексами, что и дает уравнение
(9.43) .
Данное уравнение относится к случаю стационарного процесса теплообмена. Для описания нестационарного процесса в уравнение
(9.43) следует ввести критерий Фурье, т. е. придать ему вид:
ШСр=/(Бе, Яе, Рг). (9.46)
Свободная конвекция
Как уже отмечалось ранее, свободное движение жидкости возни¬кает под влиянием различия плотностей в отдельных ее областях. Наиболее распространенным и вместе с тем практически важным слу¬чаем свободного движения является тепловая конвекция, когда неод¬нородность поля плотностей обусловлена неоднородностью темпе¬ратурного поля.
Рассмотрим в качестве конкретного примера вертикальную стен¬ку, температура которой выше, чем температура окружающей жид¬кости.
Слой жидкости, соприкасающийся с поверхностью стенки, нагре¬вается, и плотность его становится ниже, чем у основной среды. Раз¬ность плотностей вызывает появление подъемной силы, под влиянием которой нагретый слой жидкости поднимается вверх, уступая место новому более холодному слою. В свою очередь, нагреваясь, этот слой перемещается в том же направлении и т. д. Таким образом, вблизи стенки возникает циркуляция жидкости, сопровождающаяся непре¬рывным переносом тепла от стенки к окружающей среде (см. рис. 1.1).
Особенность рассматриваемого явления заключается в том, что движение жидкости, обтекающей твердое тело, будучи следствием процесса теплообмена между этими двумя средами, является в то же время причиной, поддерживающей протекание этого процесса с опре¬деленной интенсивностью.
Если температура стенки поддерживается постоянной, а объем пространства, занятого обтекающей ее жидкостью, достаточно велик, так что температура жидкости вдали от стенки практически также остается постоянной, то через некоторое время после начала процес¬са движение жидкости и тепловой поток приобретают стационарный характер.
Обозначим через р и р0 плотность жидкости вблизи и вдали от стенки. Тогда абсолютное значение подъемной силы, действующей на единицу масссы нагретой жидкости, выразится через я (р0 _ р) / р.
Приняв с достаточным приближением равенство температур слоя жидкости, прилегающего к поверхности стенки, и самой по-верхности с учетом формул (1.1) — (1.2), выразим подъемную силу через соответствующую разность температур:
я = я вт ДГ,
Р
где ДТ = Тп — Т0, (Т0 — температура жидкости вдали от стенки).
Температурный коэффициент объемного расширения Ьт, как из-вестно, является функцией температуры. Обычно его относят к тем-пературе Т = (Тп + Т0) /2.
Для идеального газа имеем: вт = 1. (9.47)
Величина ^РтДГ должна быть введена в качестве масштаба мас-совой силы в уравнение движения жидкости, написанное в проекциях на ось 7, в направлении которой действует подъемная сила.
Считая поток стационарным, будем иметь:
(«V)и = Л -1 + VV2и, (9.48)
р о г
переходя далее к безразмерным переменным, получим:
)и: = gвт&TF! —Р0-|£ + П0V2 V:. (9.49)
е о : Ре о 3: е0
Сопоставление инерционной силы с силой сопротивления и си¬лой давления дает уже знакомые нам критерии Яе и Ей, которые яв¬ляются несущественными для данной задачи. Из сопоставления инер¬ционной силы с подъемной получаем новый безразмерный комплекс:
Одна из существенных особенностей задач, связанных с иссле¬дованием свободного движения жидкости, заключается в том, что при их постановке не может быть задано какое-либо значение скорости.
Можно лишь утверждать, что как непосредственно у поверхности обтекаемого тела (неподвижного), так и на достаточном удалении от него скорость равна нулю. В связи с этим ни критерий Яе, ни только что полученный комплекс (9.50), не могут быть заданы. Но из этих величин можно получить такой комбинированный определяющий критерий подобия, из которого скорость оказалась бы исключенной, а именно:
Полученный безразмерный комплекс называют критерием (числом) Грасгофа:
2 е3
^вт &Т = вт. (9.51)
V 2
Данный определяющий критерий характеризует отношение подъемной силы, обусловленной неоднородностью поля плотнос¬тей, к силам трения.
Критерий Грасгофа и должен быть введен в качестве аргумента в уравнение подобия, описывающее процесс теплообмена в условиях
свободной конвекции. Для рассматриваемого случая теплоотдачи от вертикальной стенки будем иметь:
где к — высота стенки.
В некоторых случаях теплообмен между поверхностью твердого тела и омывающей ее средой происходит при одновременном влия¬нии вынужденной и свободной конвекции. Такие условия теплообме¬на, например, создаются при медленном движении жидкости по наг¬ретой вертикальной трубе. Если скорость свободного движения жид-кости оказывается соизмеримой со скоростью, обусловленной дей¬ствием внешней силы, то интенсивность теплообмена будет зависеть как от критерия Яе, так и от критерия Ог. Для подобного случая урав¬нение подобия процесса должно принять вид:
ШСр=/ (Ог, Яе, Рг), (9.53)
причем численное значение определяющего критерия Re рассчиты¬вается по скорости вынужденного движения.
Часто в условиях свободного движения жидкости инерционные силы оказываются настолько малы по сравнению с другими силами, действующими в жидкости, что ими можно пренебречь. Тогда инер¬ционный член в уравнении (9.49) должен быть опущен, и единствен¬ный существенный для рассматриваемого процесса критерий полу¬чается из сопоставления подъемной силы и силы трения:
Для того чтобы из этого безразмерного комплекса исключить ско¬рость, умножим его на критерий Ре, который также должен быть привлечен в качестве теплового критерия. При этом получим:
2 £3 V
^2-втАТ.- = Ог. Рг.
V2 а
Таким образом, при малых значениях инерционной силы крите-рии Ог и Рг сливаются в один сложный определяющий критерий, который именуется критерием (числом) Рэлея:
Яа = ОгРг .
В этом случае уравнение (9.52) приобретает вид:
ШСр=/ (Яа). (9.54.)
Слияние критериев Ог и РГ в один критерий имеет место и при сравнительно слабом проявлении сил трения. Как критерий Грас- гофа, так и критерий Рэлея характеризуют вклад естественной конвек-ции в общий процесс теплообмена. Чем меньше численное значение этих критериев, тем меньше вклад естественной конвекции. В метал-лургической практике часто встречаются задачи, при решении кото-рых используется уравнение подобия (9.54). Для практических целей его представляют в степенной форме:
№ср = С Яа т . (9.55)
Численные значения параметров С и т представлены в таблице 9.1.
Т а б л и ц а 9.1
Параметры критериального уравнения (9.55)
Яа С т
1-10 -2 — 5-10 2 1,18 1 /18
5-10 2 — 2-10 7 0,54 1 / 4
2-10 7 — 1-10 13 0,135 1 / 3
Следует помнить, что критерий Нуссельта является лишь проме-жуточной величиной теплового расчета. С учетом его значения, про-изводят расчет коэффициента теплоотдачи, после чего вычисляют ве-личину теплового потока.
9.5. ПОДОБИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ
9.5.1. Условия подобия процессов диффузии в твердых телах
Ранее неоднократно указывалось на аналогию, существующую между процессами переноса растворенного вещества и переноса теп¬ла.
Эта аналогия находит свое выражение в общности структуры дифференциальных уравнений диффузии и теплопроводности, а так¬же в тождественности форм задания граничных условий для этих про¬цессов. Следовательно, инварианты подобия для диффузионных про¬цессов должны иметь такую же структуру, как и инварианты теп¬лового подобия. Различие между ними должно сводиться к замене тепловых коэффициентов переноса диффузионными.
Пользуясь масштабными и безразмерными величинами, преобра¬зуем дифференциальное уравнение молекулярной диффузии (7.6) и уравнение (7.18), выражающее граничное условие третьего рода, к безразмерной форме. Получим:
Здесь В — коэффициент диффузии растворенного вещества в твердом теле. По своему физическому содержанию оба полученных комплекса совершенно аналогичны одноименным тепловым величи¬нам.
Уравнение подобия для распределения концентрации имеет для общего случая трехмерного концентрационного поля вид, сходный с уравнением (9.32):
Здесь С0 — начальная концентрация диффундирующего вещества в твердом теле, в простейшем случае одинаковая во всех его точках; Сср — концентрация этого вещества в окружающей среде; С — текущая концентрация. Для одномерного концентрационного поля уравнение (9.59) упрощается и принимает вид:
9.5.2. Подобие процессов массообмена в условиях вынужденной конвекции
Приведем уравнение (7.19) для случая стационарной конвектив¬ной диффузии и уравнение (7.20), определяющее граничное условие для этого процесса, к безразмерной форме:
(иУ) С = V2 С В
Из этих уравнений находим следующие безразмерные комплек¬сы: диффузионный критерий Пекле
VI
Ре д — —
д В
и диффузионный критерий (число) Нуссельта — с,— Ой1
В
здесь В — коэффициент диффузии растворенного вещества в жидкос¬ти, омывающей твердое тело.
В литературе диффузионный критерий Нуссельта часто называ¬ют также критерием (числом) Шервуда (8Ь).
Как и в аналогичной задаче по конвективному теплообмену, критерий Шервуда является величиной определяемой, так как входя¬щий в его состав коэффициент массообмена ад представляет собой в данной задаче величину, подлежащую определению. Аргументами в данном случае являются определяющие критерии Re и Ред. Однако вместо последнего критерия удобнее пользоваться диффузионным аналогом критерия Прандтля. Его получают путем деления критерия Ред на критерий Re:
Этот критерий обычно именуют критерием (числом) Шмидта (8е). Критерий Ргд = 8с представляет физическую постоянную. Его численные значения для газов и жидкостей существенно различны. У газов значения коэффициентов переноса V и В близки друг к другу, поэтому для них критерий Ргд = 8 с имеет порядок, близкий к еди¬нице.
У жидкостей значения коэффициентов V и В отличаются друг от друга на несколько порядков.
Так, например, коэффициент диффузии молекул и ионов в водных растворах имеет порядок Б @ 10-9 м2/сек, тогда как кине¬матический коэффициент вязкости этих сред составляет V » 10-6 м /сек, поэтому для воды и сходных с ней жидкостей Ргд = 8с » 10 . Связь между коэффициентом диффузии и вязкостью дается следую-
щим приближенным законом: D »
С увеличением кинематического коэффициента вязкости значе-ние критерия Ргд=8с=у/Б растет пропорционально квадрату послед-него. Для жидкостей, отличающихся большой вязкостью, критерий 8с достигает значений порядка 106 и более.
Поскольку 8с(Ргд) Яе = Ред, очевидно, что большое численное значение диффузионного критерия Шмидта, характерное для жид-кости, обусловливает значительное преобладание конвективного пе-реноса растворенного вещества в этих средах над молекулярным даже при весьма малых скоростях движения (т. е. при небольших значе¬ниях критерия Яе).
Для газов Ргд = 8с ~ Рг (~1), следовательно, и Ред ~ Ре, поэтому в газах относительная интенсивность конвективного и молекулярного процессов переноса той и другой субстанции (тепла и растворенного вещества) должна быть одинаковой. Уравнения подобия для про¬цесса массообмена между твердым телом и обтекающей его средой в условиях вынужденной конвекции имеют вид, аналогичный урав-нениям (9.40) — (9.44).
В частности, для тел, имеющих только один характерный линейный
размер ^0 , уравнение подобия принимает следующий вид:
Ки ДСр = 8И Ср = = / (Re.Sc).
10. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ В ТВЕРДОМ
ТЕЛЕ
10.1. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ
К числу наиболее распространенных задач нестационарной теп-лопроводности относятся задачи, связанные с определением темпе-ратурного поля при нагревании или охлаждении твердых тел. Реше¬ние подобных задач сводится к интегрированию дифференциального
дТ 2
дифференциального уравнения Фурье (7.6): —= аV Т
дг
Для решения данного уравнения целесообразно преобразовать его к безразмерной форме, введя безразмерную избыточную температуру (9.31) и безразмерные координаты:
где 10 — характерный размер тела. Тогда имеем:
Т = (Т0 — Тср) $ + Тср;
х = / х; у = /у; 2 = I г.
о ’ о о
Подставив эти величины в уравнение (7.6), получим: (То -ТСр)= аТ -2ТсрК2$.
д! /02
Перенесем а и /о в левую часть уравнения:
д$
( \
аг
12
V10 У
$=/(Ро. *> У; *).
Сформулируем временные условия, необходимые для решения уравнения Фурье (они не зависят от формы и размеров твердого тела).
В абсолютных координатах Т — г процессы охлаждения и нагре-вания описываются двумя различными кривыми (рис. 10.а), тогда как в безразмерных координатах $ — Б0 обоим процессам отвечает одна и та же кривая (рис. 10.6).
Таким образом, приходим к следующим временным условиям:
г = 0, $ = 1; г ® ¥, $ = 0.
Уравнение теплопроводности Фурье относится к классу одно-родных и линейных дифференциальных уравнений с частными про-изводными второго порядка. Одним из общих методов решения таких
уравнений является метод разделения переменных, предложенный Фурье. Этот метод заключается в том, что решение уравнения отыс¬кивается в виде произведения двух независимых функций. Для урав¬нения (10.1) одна из этих функций (ф) должна зависеть от времени (или Б0), другая (у) — от координат:
J = j(F0 )• ¥(Х y, z).
Дифференцируя это уравнение по переменным, находим:
Следовательно, вместо уравнения (10.1) имеем: д j _^2.
dFo
Разделив переменные, получим:
1 j = IV 2W.
jdFo ¥
Левая часть последнего уравнения зависит от критерия Фурье, а правая — от координат. Так как в каждой части уравнения находятся независимые друг от друга величины, то такое равенство может иметь место только в одном единственном случае, когда обе части урав¬нения равны постоянной величине:
1 д j 1 гт2
— = — V ¥ = const.
jdFo ¥
В результате получаем систему из двух дифференциальных уравне¬ний:
1 д j 1 „2
— = const; —V ¥ = const.
jdF0 ¥
Рассмотрим первое из них. Разделив переменные, получаем:
dj j
Интегрирование этого уравнения дает: ln j= const F0 + ln C*, или j = C* exp (const F0).
Константу в показателе экспоненты найдем из временного условия: t ® ¥ (F0 ® ¥); T ® Тср J¥ = 0 (joo = 0).
Для того чтобы это условие выполнялось, константа в показателе экспоненты должна иметь отрицательное значение, т. е. ^nst < 0.
Для того чтобы знак минус сохранялся при любом значении посто¬янной, положим: const = — р2.
Таким образом, решение уравнения (10.5) приобретает вид: j = C* exp (- р F0).
Подставляя это выражение в уравнение (10.4), получим:
— 2 J= y C* exp (- р F0).
Перейдем ко второму уравнению системы (10.4), которое можно пере¬писать в виде:
—V 2 у = ^nst = — в 2 (10.6)
V
Сравнительно легко это уравнение можно решить для тел, в ко¬торых распределение температуры зависит только от одной коорди¬наты, т.е. тепловая задача является одномерной. К таким телам отно¬сятся неограниченная пластина, неограниченный цилиндр и шар.
10.1.1. Неограниченная пластина
Рассмотрим решение уравнения (10.6) применительно к неогра¬ниченной пластине (рис. 10.2).
Здесь х = х / 5, где 5 — полутол¬щина пластины, принятая в ка-честве характерного размера.
Уравнению (10.7) удовлет¬воряют два частных решения:
у1 = С^СоБф х);
у2 = С^тф х).
Пусть обе поверхности пласти¬ны контактируют с одной и той же средой, имеющей постоян¬ную температуру Тср. Пусть также коэффициент теплоотдачи на обеих поверхностях имеет одно и то же значение и задается в условии задачи. Учитывая одномерный характер задачи, перепишем уравнение (10.6) в виде:
Действительно, после дифференцирования имеем:
йу1
йх й 2 у1 йх2
Аналогично можно убедиться в том, что и функция у 2 удовлетворяет
уравнению (10.7). Однако одна из этих функций не удовлетворяет физическому содержанию рассматриваемой задачи. Это вытекает из того, что распределение температуры по толщине пластины должно быть симметричным относительно ее оси, следовательно, оно должно описываться четной функцией, т. е. при перемене знака аргумента функция должна сохранять свой знак.
Этому условию не удовлетворяет функция синуса:
Sin (-х) = — Sin (+ х).
Следовательно, в данном случае функцию у следует исключить из рассмотрения, приняв С2 = 0. Тогда получим:
у = у = C1Cos(P х).
Таким образом, решение исходного уравнения (10.1) имеет вид:
J = C1Cos(Px)C* exp(- P2F0)
Объединив постоянные (C1 C*= С), имеем:
J = С • Cos (в х) exp (- в2F0). (10.8)
Произвольные постоянные этого уравнения должны быть опреде-лены из начального и граничного условий. Для определения постоян-ной b воспользуемся граничным условием третьего рода:
( Т ^
V дх J х=5
T = ГСр + (To-Tcv)J и х = 5х
получим:
^ Т0 — Тср
Для нахождения безразмерной температуры и ее производной воспользуемся уравнением (10.8):
$х = 1 = С • Соэф) ехр( — Р2Бо);
= -р • С • 81П(Р) exp( — рЛ0).
X = 1
Подставив эти выражения в уравнение (10.9), получим:
— в • С • 8тф) exp(- в2Р0) = -Б1 • С • СоБ(в) exp(- в2Р0).
Отсюда в • 8т(Р) = Б1 • СоБ(в),
или е1ё(в) = в /Б1. (10.10)
Решая это трансцендентное уравнение графическим путем (рис. 10.3), можно получить сколь угодно большое число корней уравнения (10.10), отвечающих точкам пересечения функций у1 = ^ (Р)и у2 = =Р / Б1. Для двух предельных значений критерия Био ряд корней р1 находится просто. Если Б1= ¥, то прямая _у2 совпадает с горизон¬тальной осью и тогда (приводим лишь положительные значения Р)
Р1 = Р/2, Р2 = 3(Р/2), рз = 5(р/2) и т. д.
Если Б1= 0, то у2 = ±¥ и в таком случае р1 = 0Р, р2 = 1Р, р3 = 2Р и т. д.

Рис. 10.3. Графическое решение трансцендентного уравнения (10.10) Конечным значениям критерия Био отвечают корни, лежащие в интервалах от 0 до р/2, р до (3/2)р, 2Р до (5/2)р и т. д.

Т а б л и ц а 10.1
Корни уравнения (10.10)
Б1 Р1 Р2 р3
¥ 1,57= р/2 4,71=3(Р/2) 7,85 = 5(р/2)
1000 1,57 4,71 7,84
100 1,56 4,66 7,77
50 1,54 4,62 7,70
20 1,50 4,49 7,49
10 1,43 4,30 7,22
4 1,26 3,93 6,81
I 0,86 3,42 6,43
0,1 0,31 3,17 6,30
0,01 0,10 3,14 6,28
0 0 3,14 = р 6,28 = 2Р
В промежуточных областях корни Р, отсутствуют. В табл. 10.1 приведены первые три корня Р, для различных значений Б1.

Как видно из этой таблицы, с увеличением Б1 численное значе¬ние р быстро возрастает, стремясь к своему предельному значению.
Таким образом, применение граничного условия (10.9) к урав-нению (10.8) дает ряд частных решений, каждое из которых отлича-ется значением постоянной р,. Общее решение рассматриваемой за-дачи должно быть представлено как сумма частных решений вида (10.8):
¥
&= X С, ■ СоБф.х) ехр(-Р^о) (10.11)
, = 1
Значение произвольной постоянной С. найдем из начального усло¬вия:
г = 0; Б0= 0; ехр(- р%) = 1; Ъ = г?0 = 1.
Опуская промежуточные действия, запишем конечный резуль-тат:
С = 28т(р.)
V — •
. в, + $1п(Р, )С08(Р.)
Подставляя значение С. в уравнение (10.11), получаем оконча-тельное выражение для распределения температуры по толщине плас-тины в процессе ее охлаждения или нагрева:
Благодаря резкому возрастанию коэффициентов р, с увели-чением порядкового номера члена в ряду (см. табл. 10.1), ряд быстро сходится, причем сходимость ряда тем лучше, чем больше численное значение числа Фурье и, следовательно, время протекания процесса г.
Во многих случаях можно получить достаточно точное решение, ограничившись несколькими первыми членами.
Поскольку произвольные постоянные р, являются функциями критерия Био, последнее уравнение можно представить в форме:
А = / (X, Б1,Ео),
совпадающей с видом критериального уравнения (9.33), полученного методами теории подобия.
Практический интерес представляет оценка количества тепла (иначе изменение энтальпии), которое получает пластина в процессе нагрева или отдает в процессе ее охлаждения за время ¿, которое можно определить следующим образом:
& = Срр 5Т(Го — Т)йх, (10.13)
— 5
где 5 — площадь поверхности пластины.
Полное изменение энтальпии пластины по достижении теплово¬го равновесия с окружающей средой (О0) составит:
О> = 2СрР 55(То — Тср). (10.14)
Разделив уравнение (10.13) на (10.14), получим выражение для изменения относительной энтальпии пластины:
Ос = ± .
О0 25 _ 5 Т0 — Тср
Переходя к безразмерным переменным, получим:
Т — Т — —
—0 = 1 -А; х = 5 х.
Т) — Тср
Следовательно, можно записать:
х. (10.15)
Используя значение А из уравнения (10.12) и учитывая началь¬ные условия $0 = 1, что позволяет заменить единицу в скобках:
получим:
Sin2(R )
0 1 1 1 » 1′ ‘ 1 Выражение (10.17) можно представить в следующей общей форме:
О- = ^^0). (10.18)
^0
Для практических расчетов нестационарной теплопроводности удобно использовать номограммы Д. В. Будрина и Г. Гребера, постро-енными с учетом уравнений (10.12) и (10.17).
На рис. 10.4 и 10.5 приведены примеры номограмм для определения температуры в средней плоскости г?ц и на поверхности пластины г?п . Для этих случаев уравнение (9.33) упрощается и принимает вид:

Рис. 10.4. Номограмма для расчета температуры в средней плоскости
пластины
Рис. 10.5 Номограмма для расчета температуры на поверхности
пластины

так как безразмерная координата, являющаяся одним из его аргумен-тов, становится постоянной величиной (для средней плоскости х = 0, а для поверхности х = 8/8 = 1).
На рис. 10.6 приведен график для определения относительного расхода тепла при нагревании или охлаждении пластины.
10.1.2. Сплошной неограниченный цилиндр
В случае неограниченного цилиндра следует перейти к цилин-дрическим координатам и записать для лапласиана функции у выра-жение, аналогичное (8.16). Тогда уравнение (10.6) примет вид:
где Я = Я / Яо, а Я0 — радиус цилиндра.
Не приводя деталей решения этого уравнения, по своему харак-теру ничем не отличающегося от рассмотренного решения для нео-граниченной пластины, запишем окончательное выражение:
Здесь /о — функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а 31- функция Бесселя первого рода первого порядка. Эти функции выра-жаются следующим образом:
2п+1
3( X) = Х (-1) п- +1 ,
1 п=0 22п+1 п!(п+1)!
причем /0 (х)/ Зх= — 31 (х), что вытекает из почленного дифференци-рования ряда для 30 (х).
Произвольные постоянные Р,- определяются как корни транс-цендентного уравнения: р <Л(Р) = Вг </0(р), выражающего граничное условие третьего рода для данной задачи.
Нетрудно видеть, что и в этом случае решение дифференци-ального уравнения Фурье можно представить в форме:
0 = /(Я, ВуБо),
совпадающей с видом критериального уравнения (9.33), полученного методами теории подобия.
10.1.3. Сплошной шар
Наконец, в случае шара необходимо перейти к сферическим коор-динатам (см. рис. 8.13) и записать для V ^ выражение, аналогичное (8.41). Тогда уравнение (10.6) примет вид:
1 й
:2 йЯ йЯ
где Я = Я/Я0, а Я0 — радиус шара.
В этом случае окончательное выражение для безразмерной тем-пературы имеет вид:
Постоянные b. находятся из граничного условия третьего рода, которое для рассматриваемого случая выражается трансцендентным уравнением: в Cos (в) = (1 — Bi)Sin (в).
Таким образом, и в данном случае решение дифференциального урав-нения Фурье можно представить в форме, совпадающей с видом кри-териального уравнения (9.33), полученного методами теории подобия.
Сравнивая между собой уравнения (10.12), (10.20) и (10.21), полу-ченные для неограниченной пластины, неограниченного цилиндра и
шара, замечаем, что их можно обобщить при помощи уравнения:
¥
J=S С у (М) exp( — в 2F„), (10.22)
i=1
где I = x / 5 — для пластины; I = R / R — для цилиндра и шара.
Временная часть безразмерной температуры не зависит от формы те-ла, а ее пространственная часть является функцией координат.
10.2. ДВУХ- И ТРЕХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОДНОСТИ
Располагая решениями уравнения теплопроводности для неогра-ниченных пластины и цилиндра, можно получить решения и для не-которых более сложных тел, в которых температура является функци-ей двух или трех координат.
К первым относятся такие тела, как неограниченный прямоуголь-ный стержень и короткий цилиндр, ко вторым — параллелепипед.
К примеру, неограниченный прямоугольный стержень можно рассматривать как тело, образованное пересечением двух взаимно перпендикулярных неограниченных пластин (рис. 10.7).
Выделим внутри стержня точку с координатами х и у. Эта точка принадлежит одновременно двум неограниченным пластинам.
Если ее рассматривать как точку вертикальной пластины, то получим:
J = f1(Bix,Fx), где Bix = a5x /1 и F0x = аt/5J.
Если же эту точку считать принадлежащей горизонтальной пластине, то аналогично имеем:
J = У2(В^,FQy), где Biy = а5y /^ F0y = аt/5y.
С учетом известных положений в теории вероятности можно заключить, что если принадлежность точки к одной из пластин считать простым событием, а ее одновременную принадлежность обеим пластинам — сложным событием, то связь между безразмерной
температурой А, относящей¬ся к стержню в целом, и без¬размерными температурами А1 и А2 будет иметь тот же характер, что и связь между вероятностями сложного со¬бытия и вероятностями прос¬тых событий. Как известно, эта связь определяется зако¬ном умножения:
А = АГА2, (10.23)
или А( х, у, I) = У1(Б1 х ,Бо х) • /2 (В у ,Бо у). (10-24)
Аналогичным образом можно показать, что для трехмерных тел, например для параллелепипеда, который можно рассматривать как тело, образованное пересечением трех взаимно перпендикулярных не-ограниченных пластин, безразмерная температура определится выра-жением:
Таким же образом можно определить температуру в коротком цилиндре, который можно получить пересечением неограниченного
цилиндра и пластины: А(Я, х, /) = /1(Б1 к ,Р0 к) • /2(В1 х ,Р0 х). (10.26)
10.3. РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ НАГРЕВА И ОХЛАЖДЕНИЯ
ТЕЛ
Как было показано выше, для тел простой формы (неограни-ченные пластина и цилиндр, шар) решение дифференциального урав-нения теплопроводности выражается при помощи ряда, который в
общей форме может быть записан в виде уравнения (10.22):
¥
А=хС. уф 1) ехр(- Р;2Р0)
I=1 11 1 0
где I — безразмерная координата (для пластины I = х/Ъ, а для цилинд¬ра и шара 1 = Я/Я0).
Ранее отмечалось, что такой ряд быстро сходится, причем его сходимость улучшается с увеличением критерия Фурье, т.е. факти-чески с ростом времени процесса. Следовательно, по мере увеличения времени нагревания или охлаждения тела, т. е. по мере возрастания числа Фурье, каждый последующий член ряда становится менее су-щественным по сравнению с предшествующими. Через определенный промежуток времени после начала процесса все члены ряда ока-зываются малы по сравнению с первым членом и ими можно пре-небречь. Тогда вместо уравнения (10.22) получим:
А=С1У(Р11) ехр( — р]2Р0).
Логарифмируя это выражение, находим:
С1у(Р1,1)] — р,^
или, обозначив: ЫС^ф^ I )] = А, Р2=в,
получаем: 1пА=А — В • Б0. (10.27)
Режим нагрева или охлаждения тела, в котором наблюдается ли¬нейная зависимость между 1п А и ^ в соответствии с уравнением
(10.27) , получил название регулярного режима.
Перейдем к размерной температуре, и одновременно критерий Фурье
1пб=к * — тг (10.29)
Таким образом, в регулярном режиме в соответствии с уравне¬ниями (10.28) и (10.29) 1пби 1пб меняются линейно со временем (рис. 10.8, а и Ь).
Величину т (1/с) называют темпом изменения температуры, и она определяет относительную скорость изменения температуры в регулярном режиме. Поскольку последнее уравнение не содержит переменной координаты I, величина т сохраняет постоянное значе¬ние для всех точек данного тела.
Так как ^ = /(Б1), то и темп регулярного режима также будет определяться критерием Био. С увеличением Б1 параметр ^ растет,
соответственно будет расти и темп регулярного режима. Для данного тела численное значение критерия Био зависит от коэффициента теп¬лоотдачи а, поэтому и темп регулярного режима будет также опреде¬ляться величиной коэффициента теплоотдачи.
В пределе, когда Б1 ® ¥, т ® т¥, причем предельное значение темпа регулярного режима можно определить расчетом, не прибегая к эксперименту.
Если Ш ® ~ то Р1 ® Р1тах причем Р1 @ Р1тах уже при срав¬нительно небольших значениях критерия Био (см. табл. 10.1).
Таким образом, имеем: т0
Величина кф зависит только от формы и размеров тела:
кф _ (V Р1 тах)2′ (1032)
Соответственно ее назвали коэффициентом формы. Для неко¬торых тел коэффициент формы может быть легко вычислен. Так, для неограниченной пластины имеем:
Следовательно,
Для неограниченного цилиндра ( Р1тах = 2,405): кф = (й0/2,405)2 = 0,173^2-
Для шара:
кф = («0/ п)2 .
Для цилиндра длиной /:
кф = 1/[(2,405/Ко)2 + (п//)2].
Для параллелепипеда со сторонами /1 /2, /3:
кф =1/[(п//1)2 + (п//2)2 + (п//3)2] . (10.33)
Уравнение (10.31) является математической формулировкой тео¬ремы Г.М. Кондратьева для регулярного режима: при больших значениях критерия Био темп изменения темпера¬туры пропорционален коэффициенту температуропроводности тела.
Бесконечно большое значение критерия Био означает, что ин¬тенсивность внешнего теплообмена бесконечно велика по сравнению с внутренним теплообменом. Отсюда следует, что температура по¬верхности тела мгновенно становится равной температуре окружаю¬щей среды (которая задана по условию задачи и является постоян¬ной). В результате заданной величиной оказывается температура по¬верхности тела, т. е. получаем задачу с граничными условиями перво¬го рода. Таким образом, регулярный тепловой режим при граничных условиях первого рода (при Ш или практически Ш > 100) от¬личается тем, что темп нагрева или охлаждения не зависит от крите¬рия Био, а определяется только формой, размерами тела и его темпе¬ратуропроводностью.
Для того чтобы строго установить соответствие реальных усло-вий тем условиям, при которых справедлива теорема Кондратьева, ис-пользуют соотношение между двумя безразмерными величинами:
М = т/т¥ и Н = акфБ/КУ, где £ — поверхность тела; V — его объем.
Первая величина именуется относительным темпом охлаждения, вторая представляет собой модифицированную форму записи кри-терия Био, так как величина кф£^ имеет размерность длины. Связь между этими безразмерными величинами задается следующими дан-ными:
Н ¥ 50 25 20 15
М 1 0,986 0,972 0,965 0,954
При Н ® ¥, (а ® ¥ т ® т¥ и М = 1, т.е. условия, для которых справедлива теорема Кондратьева, выполняются точно.
При Н>20 величина М отличается от единицы на (1 — 0,965)100 % = = 3,5 %. Следовательно, с точностью до 3,5% можно считать, что регулярный режим с граничными условиями первого рода наступает при Н> 20.
Таким образом, задавая точность, можно подсчитать, какова должна быть величина Н, а из нее вычислить, при каком коэффици-енте теплоотдачи наступают условия теплообмена, для которых спра-ведлива теорема Кондратьева:
а = Н . (10.34)
кф£
Методом регулярного режима часто пользуются для оценки времени нагревания или охлаждения тел. Для этого используют формулу (10.30), придав ей следующий вид (рис. 10.12, Ь):
Здесь Л* = 12 — ^ — время, в течение которого температура в какой- либо точке тела изменяется от Т1 до Т2 . Подобная задача может быть
решена чисто теоретическим путем, если известны коэффициенты формы тела кф и температуропроводности а, необходимые для вычис¬ления темпа изменения температуры т.
Большое практическое значение теоремы Кондратьева состоит в том, что она лежит в основе экспериментального определения тепло¬физических свойств различных материалов. Для этого из исследуе¬мого материала изготавливают образец, имеющий определенную гео¬метрическую форму, и проводят его нагрев или охлаждение в регу¬лярном режиме.
Сняв зависимость Ф = ДО, строят ее в полулогарифмическом масштабе и определяют темп изменения температуры, после чего рас¬считывают температуропроводность материала по уравнению (10.31).
10.4. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ДИФФУЗИЯ В ПОЛУОГРАНИЧЕННОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Рассмотрим твердое тело, ограниченное плоскостью х = 0 и прос¬тирающееся в бесконечность по нормали к этой плоскости. Такое тело называется полуограниченным.
На практике любое тело, у которого один размер значительно больше двух других, может рассматриваться как полуограниченное. Если на поверхности такого тела создать источник диффундирую¬щего вещества, то при повышенной температуре начнется диффу¬зия этого вещества в глубь полуограниченного тела.
Задача состоит в том, чтобы установить распределение кон¬центрации диффундирующего вещества в твердом теле в любой момент времени от начала процесса диффузии.
Закономерности, которым подчиняется диффузия, определяют¬ся свойствами источника диффундирующего вещества.
10.4.1. Диффузия из ограниченного источника
Если на поверхности твердого тела создан тонкий слой диффун¬дирующего вещества так, что его толщина 5 ® 0, то такой источник называется ограниченным. На практике эту модель можно исполь¬зовать в том случае, если 5 << I, где I — длина твердого тела (рис. 10.9).
В нашем случае диффузия будет происходить вдоль оси х, т.е. диффузионная задача будет одномерной. Для ее решения представим дифференциальное уравнение Фика в виде:
Если концентрацию диффундирующего вещества в элементар¬ном слое толщиной dx обозначить через С, то количество диффунди-рующего вещества в этом слое равно: С £ dx.
Для слоя конечной толщины, простирающегося от Х\ до х2, коли-чество диффундирующего вещества составит:
х2
|CSdx .
Х1
Для любого момента времени диффузии общее количество диф-фундирующего вещества в твердом теле равно:
¥ ¥
| CSdx = £ | Cdx,
-5 0
так как 5 ® 0.
Итак, для любого момента времени ^ можно сформулировать следующее условие нормировки:
N ¥
= |С dx . (10.37)
£ о
Величина С дает нам концентрацию диффундирующего вещества в произвольно выбранной точке пространства в любой момент време-ни. От каких переменных зависит эта функция? Нетрудно видеть, что ее аргументами будут х, и и ¿. Вид этой функции и должен быть установлен с помощью решения дифференциального уравнения Фика. Для облегчения решения задачи преобразуем функцию С = / (х, и, {) к функции от безразмерных комплексов. Это позволит нам умень¬шить число аргументов, т. е. независимых переменных. Согласно тео¬реме Букингема (см. раздел 9.2) число безразмерных комплексов рав¬но числу размерных переменных минус число единиц измерения. В нашем случае три размерных переменных (х, и и /) требуют для своего выражения двух единиц измерения (метр и секунда). Следо¬вательно, наша функция может быть преобразована к функции от
одного (3 — 2 = 1) безразмерного комплекса. Его можно записать в виде 7 = * . Таким образом:
4иь
Тогда Ns / S = \4Dt f (z) dz
0
и условие нормировки принимает вид:
N ¥
/(7) .
^ о
Дифференциальному уравнению (10.36) удовлетворяет функция:
С = / (г) = к ехр(-72/4), (10.38)
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Постоянную к найдем из условия нормировки:
В интеграле сделаем замену переменной: z2 / 4 = y2; z2 = 4y2; z = 2y; dz=2dy.
¥ ¥
Тогда J exp(-z 2 / 4) dz=2 J exp(-y 2) dy.
оо
Последний интеграл принадлежит к числу табличных и равен:
J exp(-y 2) dy = л/П/2.
о
Таким образом, имеем:
| ехр (-z2 /4) & — 2(л/Л /2) -4п.
о
Итак, уравнение (10.39) можно представить в виде:
N
откуда К — —
Возвращаясь к уравнению (10.38), имеем:
Если умножить и разделить правую часть на 5, то с учетом того, что £•5 = V, а N8/V = С8, окончательно получим:
10.4.2. Диффузия из концентрационной ступени
Если источник диффундирующего вещества имеет конечные раз¬меры и в начальный момент времени диффундирующее вещество рас¬пределено в нем равномерно, то такой случай массопереноса имену¬ется диффузией из концентрационной ступени (рис. 10.10).
Для решения этой задачи воспользуемся результатами, полученными при рассмотрении диффузии из ограниченного источника.
С этой целью разобьем ступень на большое число ограниченных источников, т. е. на слои малой толщины 5 = Ах.
Тогда массоперенос из концентрационной ступени можно рассмат-ривать как суммарный результат диффузии из большого числа огра-ниченных источников. За основу математического описания диффу¬зии можно принять формулу (10.40), полученную для диффузии из
ограниченного источника. Применяя формулу (10.40) к на¬шему случаю, необходимо учесть два обстоятельства. Во-первых, диффузия из каждого отдельного источника идет как в положи¬тельном, так и в отрицательном направлении оси х, а поэтому эф¬фективность действия источника уменьшится вдвое, в соответствии с чем правую часть уравнения (10.40) следует уменьшить в два раза. Во-вторых, для каждого источника следует осуществить перенос оси ординат: х = х + т Ах,
где т = 1, 2, 3, …, п.
Таким образом, уравнение (10.40) применительно к нашему слу-чаю диффузии перепишется в виде:
На основании вышесказанного получим:
Сделаем замену переменной:
х + mDx
2j Dt
24 вг
и, следовательно, (поскольку Ат = 1) запишем:
Ах = 2л[Вг • А.
Подставляя последнее выражение в уравнение (10.41), будем иметь:
C = S Cs m=0 2JпDt
C ¥ n
C = —^ S exp (-z 2)Az.
о
Рассмотрим отдельно интеграл, разбив его на части:
¥ 0 ¥
J exp (-z 2) dz = J exp (-z 2) dz + J exp (-z 2) dz.
¿о 2о 0
Второй интеграл принадлежит к числу табличных:
¥
J exp(-z 2) dz =
о
Если первый интеграл умножить и разделить на JL-n и поменять пре-
2
делы интегрирования, то получим интеграл вероятности, или функ¬цию ошибок Гаусса (error function — erf ):
Таким образом, интересующий нас интеграл равен:
Следовательно, возвращаясь к уравнению (10.42), получим:
C л/П
C = S1T [1 — erf (z)]
л/п 2
Cs
C = -^ [1 — erf (z)] 2
Функцию 1 — = в^с^) называют дополнительной функци¬
ей ошибок (она дополняет функцию ошибок Гаусса до единицы).
Соответственно конечный результат для случая диффузии из кон¬центрационной ступени можно записать так:
С С
С = —sвrfc(z) = —^вгС—Х—). (10.44)
2 2 г^вг
Остановимся коротко на свойствах функции ошибок Г аусса.
Ее предельные значения составляют: erf (0) = 0; erf (¥) = 1.
С увеличением аргумента функция ошибок Гаусса быстро воз¬растает, причем уже при сравнительно небольших значениях z ве¬
личина erf (z) мало отличается от единицы. Так, при z = 3 функция ошибок erf (3) =0,99998, т. е. с точностью 0,002 % равна единице.
Уточним понятие полуограниченного тела применительно к диф¬фузии из концентрационной ступени. Очевидно, что образец, в кото¬ром происходит диффузия, может рассматриваться как полуогра-ниченное тело, если после окончания диффузии в нем остается об-ласть, не затронутая диффузией, т. е. область, в которой С = 0. Оце-ним протяженность области диффузии. Из уравнения (10.44) следует, что условие х = L; C = 0 приводит к выражению:
Как было указано выше, с точностью 0,002 %: erf (z) = 1 для z=3. Следовательно, получим:
= 3, откуда Ь = 6^~ОГ.
Таким образом, для заданных значений В и ^ образец, в котором происходит диффузия, может рассматриваться как полуограниченное тело, если выполняется условие I > Ь, где I — длина образца.
10.4.3. Диффузия из постоянного источника
Если концентрация диффундирующего вещества на поверхности твердого тела в течение всего процесса диффузии поддерживается постоянной, то такой случай диффузии именуется диффузией из пос¬тоянного источника. Для того чтобы получить закон диффузии для этого случая, воспользуемся уравнением для диффузии из концен¬трационной ступени (10.44).
Для поверхности твердого тела (х = 0): erf (0) = 0 и С = Cs /2 для любого момента времени.
Следовательно, на границе раздела «источник — твердое тело» во вре¬мя диффузии сохраняется постоянная концентрация, равная Cs /2 . Поэтому начиная с х = 0 массоперенос можно рассматривать как случай диффузии из постоянного источника с концентрацией Cs /2 .
Следовательно, ветвь кривой для х> 0 описывает диффузию из постоянного источника.
Для произвольного постоянного источника с концентрацией Сп получим: C = Спег/С(
Определим плотность диффузионного потока через поверхность твердого тела. С этой целью воспользуемся законом молекулярной
0
x ЭС 2Сп ,
где z = —¡=, поэтому имеем: —= ¡-zz (-
2fDt Эх Jn 2jDt
Следовательно, получим:
Подставляя (10.48) в уравнение (10.46),получим:
D— = C Ы Dt п\
Количество вещества, проходящее через единичную поверхность за время ¿, равно:
Если концентрация диффундирующего вещества в твердом теле в начальный момент отличается от нуля, то следует изменить начало отсчета концентрации: отсчитывать ее не от нуля, а от С0.
Тогда уравнение (10.45) примет вид:
С -С0 = (Сп -С0)[1 -ег/(г)].
10.5. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПОЛУОГРАНИЧЕННОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Пусть полуограниченное твердое тело с начальной темпера-турой Т0 помещено в среду, которая поддерживает постоянную тем-пературу Тп (рис. 10.11). Эта задача совершенно аналогична задаче диф¬фузии из постоянного источника.
Следовательно, закон изменения температуры со временем в каждой точке твердого тела будет совершен¬но аналогичен тому, который мы
получили для соответствующей диф- Рис. 10.11. Теплопроводность фузионной задачи (10.49). в полуограниченном теле
Для перехода от диффузионного процесса к тепловому достаточно в уравнении (10.49) заменить
концентрацию на температуру, а коэффициент диффузии — на коэффициент температуропроводности:
При этом безразмерная температура определяется следующим
_ т — т образом: 0 = п
откуда получим:
Плотность теплового потока на поверхности тела (х = 0) опре-делим с помощью закона молекулярной теплопроводности Фурье:
’п — 0
Используя уравнения (10.51) и (10.47), имеем:
(^х—0 -(Т0 -Тп)Эх[вТ/(уХ0г)]х-0 -(Т0 -Тп)Ш-
Подставляя найденное выражение в уравнение (10.52), получаем:
1 X
Чп — -Х(Т0 — Тп ь= — (Тп — Т0 )
Учитывая, что коэффициент температуропроводности а —
Из этого выражения видно, что плотность теплового потока об¬ратно пропорциональна корню квадратному из времени, следова¬
тельно, принимает большое значение в первые моменты теплового
процесса и обращается в нуль при , ® ¥.
2
Расход тепла (Дж/м ) через единицу поверхности за время , най-дем путем интегрирования уравнения (10.53):
Величина ^ХСрр, которую обозначим через Ь, представляет фи-зическую константу. Как видно из уравнения (10.54), эта величина дает представление о количестве тепла, которое проникает через еди-ницу поверхности за единицу времени при разности температур в один градус, т. е. характеризует аккумулирующую способность тела, поэтому ее называют коэффициентом теплоусвоения.
Размерность этой величины
[Ь]= у 1Срр]_д/Дж/м• с• КхДж/кг• Кхкг/м3 _
_ Дж/м • К • с
Пользуясь коэффициентом теплоусвоения, можно уравнение (10.54) представить следующим образом:
2
2, _-г(Тп-Т,)^.
л/П
11. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛО -И МАССООБМЕН
11.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
Процессы конвективного тепло- и массообмена имеют место в потоке жидкости (или газа) и всегда протекают совместно с соот-ветствующими процессами молекулярного переноса (молекулярной
потоке жидкости (или газа) и всегда протекают совместно с соот-ветствующими процессами молекулярного переноса (молекулярной теплопроводностью и диффузией).
В зависимости от причины, которой обусловлено движение жид-кости, различают вынужденную конвекцию и свободную (или естес-твенную).
В первом случае движение жидкости обусловлено внешними по отношению к рассматриваемому процессу тепло- или массообмена причинами, например, действием насоса, вентилятора, компрессора и т. п.
Во втором случае движение жидкости обусловлено самим про¬цессом тепло- или массообмена, а именно наличием подъемной силы, возникающей вследствие неоднородности поля плотности, что в свою очередь связано с неоднородностью поля температур (при тепло¬обмене) или концентраций (при массообмене) [см. рис. 1.1].
В металлургическом производстве конвективная теплоотдача иг¬рает важную роль при нагреве металла как в низкотемпературных, так и в высокотемпературных печах. За счет конвективной массоотдачи происходят различные процессы химико-термической обработки ме-талла, связанные с изменением его состава (обезуглероживание, нау-глероживание, азотирование и т. п.).
Конвективный перенос тепла и массы имеет большое значение и в высокотемпературных пламенных печах, так как в значительной степени определяет распределение температур и концентраций в вы-сокотемпературном газовом потоке.
Как правило, при этом основную роль играет вынужденная кон-векция. Однако и свободный конвективный теплообмен имеет опре-деленное значение.
Например, именно свободная конвекция определяет теплоотдачу от внешней поверхности печей в окружающую среду.
Количественно процессы тепло- и массообмена существенно за¬висят от гидродинамических параметров потока жидкости.
Конвективный теплоперенос в потоке происходит вместе с мас¬сой движущейся жидкости, поэтому с учетом средней скорости ее движения и температуры жидкости плотность конвективного тепло-вого потока можно представить следующим образом:
Яконв = СрРисрТ (Вт/м2Х (111)
где риср (кг/м2-с) — плотность потока массы жидкости, которая оп-ределяет массу жидкости, протекающей через единицу поверхности за единицу времени; СрТ (Дж/кг) — теплосодержание единицы массы жидкости.
Одновременно в движущейся жидкости происходит перенос теп¬ла молекулярной теплопроводностью. При этом плотность теплового потока молекулярного теплопереноса в соответствии с законом Фурье (2.1) определится следующим образом:
дТ 2
Ягепл = = -X ёга^Т (Вт/м ).
дп
Суммарная величина плотности теплового потока в движущейся жидкости должна быть записана в виде:
Я = Ср рг>срТ — X gradT. (11.2)
Точно также плотность конвективного потока массы /-того ком-понента смеси (раствора) равна:
.7/,коив исрСг (кг/м ^сХ
где в каждом килограмме массы движущейся жидкости содержится Сг килограмм рассматриваемого компонента смеси. В соответствии с за-коном Фика (2.6) плотность потока массы данного компонента смеси, обусловленного молекулярной диффузией, равна:
дС
Ь,диф = -Вг ~дп = -§ГаёС’ (кг/м^с).
Суммарная величина плотности массового потока в движущейся жидкости запишется в виде:
Ь = иСрСг — В.^ха^С.. (11.3)
В технологической практике металлургического и химического производства встречаются многочисленные случаи, когда необходимо учитывать тепло- или массообмен между потоком жидкости и поверх-ностью твердого тела.
В случае конвективной теплоотдачи, т. е. конвективного тепло¬обмена между движущейся жидкостью и поверхностью твердого тела, плотность теплового потока на поверхности очень существенно за¬висит от скорости и режима движения жидкости. Кроме этого, она зависит от температур поверхности твердого тела и жидкости; от физических свойств жидкости (X, V, р и Ср); от формы и состояния поверхности твердого тела.
Процесс конвективной массоотдачи и величину плотности пото¬ка массы на поверхности аналогично определяют все указанные выше факторы.
Таким образом, процессы конвективной тепло- и массоотдачи яв-ляются достаточно сложными и зависят от большого числа пере¬менных величин.
Для описания этих процессов пользуются эмпирическим законом Ньютона-Рихмана для теплоотдачи (7.11):
я = а(Тср — тп)-
Соответствующее выражение для процесса массоотдачи имеет аналогичный вид [уравнение (7.17)]:
j = ад (Сср — Сп ) .
В этих уравнениях а — коэффициент теплоотдачи (или теплообмена), Вт/м2-с и ад (или в) — соответственно коэффициент массоотдачи (или массообмена), м/с.
Основная трудность расчета процессов конвективной тепло- и массоотдачи, с учетом уравнений (7.11) и (7.17), заключается в опре-делении коэффициентов а и ад , так как именно эти коэффициенты зависят от ранее перечисленных многочисленных факторов, влияю¬щих на плотность потоков тепло- и массообмена.
Во многих случаях значения коэффициентов тепло- и массоот¬дачи определяют с помощью эмпирических формул, полученных пу¬тем обработки экспериментальных данных с использованием мето¬дов, разработанных в теории подобия (см. главу 9) и в ряде случаев приводимых в справочниках. Это объясняется большими матема-тическими трудностями, связанными с аналитическим решением со-ответствующих задач конвективного тепло- и массобмена при слож¬ной форме поверхности теплообмена (массообмена) и соответственно сложной гидродинамике потока жидкости, или в случае недо¬статочной изученности механизма процессов переноса (к примеру, при турбулентном режиме движения).
Однако с методической точки зрения несомненный интерес пред-ставляют именно аналитические методы определения указанных ве¬личин, которые позволяют охарактеризовать физические особенности соответствующих процессов. Эти методы, позволяющие решать лишь наиболее простые задачи тепло- и массообмена, дают результаты, ко-торые в ряде случаев удовлетворительно описывают и более сложные случаи.
Для аналитического решения задач конвективного тепло- и мас-сообмена необходимо решить систему дифференциальных уравнений, которая в случае процесса конвективного теплообмена включает уравнения конвективной теплопроводности (7.10), уравнения гидро-динамики: уравнение движения вязкой жидкости Навье-Стокса (4.38) и уравнение неразрывности (4.23), а также уравнение (7.13), опреде¬ляющее граничные условия третьего рода для рассматриваемой зада¬чи конвективного теплообмена.
Аналогично при решении задач конвективного массообмена нео-бходимо рассмотреть решение дифференциальных уравнений конвек-тивной диффузии (7.19), уравнений гидродинамики (4.38), (4.23) и граничное условие третьего рода (7.20).
Для стационарных процессов конвективного тепло- и массооб¬мена указанные выше уравнения принимают следующий вид:
а) для конвективного теплообмена: 1. (V У)Г=сЯ2Г
4. а(ГСр — Тп) = -Х()вбл. пов б) для конвективного массообмена:
1. (и-У)С = В V 2С
3. ёги = 0 (115)
ЭС
4. ад (Сср — Сп ) =— В ( Эп ^вбл. пов
Как уже отмечалось ранее, в общем случае при рассмотрении задач конвективного тепло- и массообмена системы уравнений (11.4) и (11.5) аналитического решения не имеют.
Определение коэффициентов а и ад осуществляют эксперимен-тально, причем обычно с использованием методов, разработанных в теории подобия. Проведенный анализ уравнений (11.4) и (11.5) в теории подобия (см. главу 9) позволил найти решение уравнений конвективного тепло- и массообмена, представив его в виде уравне¬ний подобия (9.43) и (9.66), в которых коэффициенты тепло- и мас-сообмена представлены в безразмерной форме в виде числа Нуссельта (Ш) или числа Шервуда ^):
аср I
^ ср =^~ = I №,РТ);
Полученные уравнения подобия лежат в основе моделирования процессов конвективного тепло- и массообмена. Путем проведения опытов на модели, определяют значения коэффициентов а и ад натурального объекта, соответствующего рассматриваемой задаче.
Существенным недостатком приведенных уравнений подобия служит необходимость проведения экспериментов, и, кроме того, в этих уравнениях отсутствует конкретный вид функций, определяю¬щих зависимость коэффициентов тепло- и массообмена от критериев Яе и Рг или Бе.
В связи с этим несомненный интерес представляет нахождение аналитического вида решения системы уравнений (11.4) и (11.5) с использованием приближенных методов при их решении.
Рассмотрим теорию пограничного слоя, которая в настоящее вре¬мя получила широкое распространение для решения различных задач конвективного тепло- и массообмена.
11.2. ТЕПЛОВОЙ И ДИФФУЗИОННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЕ
СЛОИ
Ранее было дано понятие и рассмотрена теория гидродинами¬ческого пограничного слоя 5 (см. главу 6), который представляет со¬бой тонкий слой жидкости вблизи поверхности твердого тела. При этом предполагагалось, что в ядре потока жидкости (за пределами по-граничного слоя) силы трения отсутствуют (поток идеальной жидкос¬ти при условии Яе >> 1).
Установлено, что явления, происходящие в гидродинамическом ограничном слое 5, играют решающую роль в определении гидроди-намического сопротивления при движении жидкости и, как будет по-казано далее, оказывают существенное влияние на интенсивность процессов тепло- и массообмена, протекающих между жидкостью и поверхностью твердого тела. Толщина гидродинамического погра-ничного слоя определяется изменением скорости потока жидкости вблизи поверхности твердого тела (см. рис. 6.1). При этом скорость на поверхности твердого тела равна нулю, а на границе пограничного слоя и за его пределами скорость постоянна и равна V (скорость в ядре потока, т. е. вдали от поверхности твердого тела).
Понятия теплового и диффузионного пограничных слоев по су-ществу аналогичны понятию гидродинамического пограничного слоя.
Если в потоке жидкости, омывающем поверхность твердого тела, температуры жидкости Тср и поверхности твердого тела Тп не оди-наковы, между ними возникнет процесс конвективного теплообмена. При этом у поверхности твердого тела по аналогии с гидродинами-ческим пограничным слоем возникает тепловой пограничный слой 6т, толщина которого определяется изменением температуры в тон¬ком поверхностном слое жидкости (рис. 11.1): АТ = Тп — Тср.

Рис. 11.1. Схема образования пограничнных слоев:

0
v> С4
— гидродинамическим пограничным слои; от — тепловой пограничным слои; од — диффузионным пограничным слои За пределами теплового пограничного слоя 6т температура жид¬кости Тср= const. Аналогичным образом можно определить понятие диффузионного пограничного слоя 5д, которым возникает при нали-чии разности концентрацим в жидкости и на поверхности твердого тела: АС = Сп — Сср, что служит причином возникновения конвектив-ного процесса массообмена между ними.
Толщина диффузионного пограничного слоя 6д определяется сло-ем жидкости, в котором реализуется разность концентрацим Сп — Сср (см. рис. 11.1). За пределами пограничного слоя 5д концентрация Сср= const.
Как и в случае гидродинамического пограничного слоя, в теп¬ловом и диффузионном пограничных слоях движение жидкости мо¬жет носить ламинарный или турбулентный характер.
11.2.1. Тепловой ламинарный пограничный слой
Рассмотрим образование теплового ламинарного пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой потоком жидкости в продоль¬ном направлении.
Если поверхность тела обтекается потоком жидкости с темпе-ратурой, отличающейся от температуры самого тела, то у поверх¬ности тела образуется тепловой пограничный слой, в котором сосре-доточивается разность этих температур (см. рис. 11.1).
В пределах этого слоя, сходного с гидродинамическим погра-ничным слоем, наряду с конвекцией тепла существенное значение имеет перенос тепла молекулярной теплопроводностью.
Роль этой формы переноса тепла возрастает по мере прибли¬жения от внешней границы теплового пограничного слоя к поверх¬ности тела, где она становится единственно возможной. За пределами теплового пограничного слоя процесс молекулярной теплопроводнос¬ти обычно играет ничтожную роль по сравнению с конвективной теплопроводностью.
Рассмотрим ламинарный тепловой пограничный слой, который образуется на плоской пластине при продольном обтекании ее ста-ционарным двухмерным потоком несжимаемой жидкости.
Процесс конвективной теплопроводности в ламинарном тепло¬вом пограничном слое описывается системой уравнений (11.4). Для уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности, входящих в сос¬тав этой системы, упрощения уже были сделаны применительно к гидродинамическому пограничному слою (см. раздел 6.2). Подобным
же образом может быть упрощено и уравнение конвективной тепло¬проводности.
Перепишем это уравнение в координатной форме
Эх у Эу х Эх2 Эу2
и преобразуем его к безразмерному виду.
Для этой цели воспользуемся в качестве множителей преобра¬
зования протяженностью пластины в направлении обтекания £, ско¬ростью набегающего потока и и температурой жидкости Тср.
Получим: х = £ х, у = £ у, -х = и -х, -у = и -у, Т = ТсрТ, следовательно, имеем:
или после деления на множитель при левой части уравнения:
окончательно получаем:
где Ре = иНа — критерий (число) Пекле.
Обозначим толщину теплового пограничного слоя через 6т и сохраним за толщиной гидродинамического пограничного слоя его прежнее обозначение 6. Безразмерная толщина теплового погранич¬ного слоя составит 6т = 6т/£. Оценим порядок величины отдельных членов, входящих в уравнение (11.7). При этом будем иметь в виду, что, как уже было установлено (см. главу 6), порядок величины -у равен 6, а предельное значение координаты у имеет для теплового пограничного слоя порядок 6т. Величины х и -х изменяются в пре¬
делах от нуля до единицы. Предельное изменение температуры Т в тепловом пограничном слое является величиной конечной, и ее по¬рядок также можно принять равным единице.
Подпишем под каждым членом уравнения (11.7) порядок величи¬ны его сомножителей:
1.1 5
5т
Поскольку 5т << 1, поэтому в правой части этого уравнения
г . д 2 Т д 2 Т
можно пренебречь производной _ по сравнению с _
ЭХ2 дУ 2
Далее, поскольку порядок обеих частей уравнения должен быть одинаковым, можно утверждать, что величина 1/Ре должна иметь по¬рядок, равный 5т , т. е. 1/Ре ~ 5т .
Отсюда находим:
В таком виде это уравнение должно быть включено в систему уравнений (11.4). Уравнения движения жидкости и неразрывности должны быть в этой системе также представлены в упрощенной форме, а именно в форме (6.7), найденной для гидродинамического пограничного слоя на плоской пластине (система дифференциальных уравнений пограничного слоя Прандтля).
Таким образом, для ламинарного теплового пограничного слоя будем иметь следующую систему дифференциальных уравнений:
д Ух д Уу А
^—+ —^ = 0, дх ду
которая решается при следующих граничных условиях:
у = 0, Ух = Уу = 0, Т = Тп;
у = 6, Ух = и; (11.10)
у = 6т, Т = ТСр.
Здесь Тп — температура поверхности пластины.
Из сопоставления граничных условий для Ух и Т следует, что решение системы уравнений (11.9) возможно лишь для случаев, когда 6т £ 6.
Система дифференциальных уравнений (11.9) после ряда прео-бразований сводится к уравнению, аналогичному уравнению Кармана (6.9):
где 0 = Т — Тп и 0ср = Тср — Тп.
Полином, при помощи которого может быть выражено распре¬деление температуры в тепловом пограничном слое, должен в соот¬ветствии с числом привлекаемых граничных и дополнительных усло¬вий состоять из четырех членов:
0 = Ь0 + Ьху + У2 + Ь у3. 11.12)
В силу тождественности вида этого полинома и граничных усло¬вий (11.10) с таковыми для скорости в гидродинамическом погра¬ничном слое [уравнения (6.10) и (6.11)] должны быть тождественны по форме и выражения для температурного и скоростного полей в со¬ответствующих пограничных слоях. В связи с этим, опуская деталь¬ные вычисления, по аналогии с уравнением (6.12) получим:
Используя выражения (11.13) и (6.38), вычислим интеграл, входящий в уравнение (11.11), при этом имеем:
Если вычисленные значения интеграла и производной подставить в уравнение (11.11), то получим:
бт = _±_ 6 ^РГ’
Это равенство уточняет оценку порядка зависимости величины 5т от критерия Прандтля, данную в выражении (11.8).
Подставляя в равенство (11.16) значение 5 из выражения (6.16), получим формулу для толщины ламинарного теплового пограничного слоя:
Так как эта формула получена в предположении, что 5т / 5 £ 1, то она применима для случаев, когда Рг > 1, т. е. для газов и неметал-лических жидкостей.
Зная 5т, можно определить значение местного коэффициента теп-лоотдачи ах, используя граничные условия третьего рода.
Отсюда видно, что местный коэффициент теплоотдачи обратно пропорционален толщине теплового пограничного слоя.
Подставляя в (11.18, а) значение 5т из уравнения (11.17), получим:
X
а х = 0,324-д/ЯеХ л/Рг.
х
Точное решение системы уравнений (11.4) несколько уточняет чис-ленный множитель в полученной формуле:
X
а х = 0,332-МеХ Л/Рг. (11.19)
X
Обычно вместо ах пользуются более удобным для практических расчетов средним и постоянным по длине пластины значением коэф-
11
фициента теплоотдачи, аср: аср =-1 а х йх,
£ о
или, учитывая равенство (11.19), имеем:
Этому уравнению можно придать безразмерную форму: а £
= Киср = 0,664 л/РеЛРг. (11.20)
Определив из этого уравнения число Нуссельта, можно найти ко-личество тепла, отдаваемого жидкости одной стороной охлаждаемой пластины шириной, равной в, в единицу времени:
аср^
—— (Тп -Тср ) = ^ср (Тп -Тср Д Дж/с
11.2.2 Диффузионный ламинарный пограничный слой
Аналогично гидродинамическому и тепловому пограничным сло¬ям у поверхности обтекаемого тела образуется диффузионный погра¬ничный слой, в котором концентрация растворенного вещества изме¬няется от значения данной величины в потоке, до значения у по-верхности обтекаемого тела (см. рис. 11.1).
Поскольку уравнения конвективного переноса растворенного ве¬щества и тепла (11.4) и (11.5) по форме тождественны и одинаков характер граничных условий для задач, которые решаются на основе теории пограничного слоя, то все решения для диффузионного по¬граничного слоя могут быть получены из аналогичных выражений для теплового пограничного слоя путем замены в них температур на концентрацию.
В связи с этим ограничимся записью конечных формул.
Обозначив толщину диффузионного пограничного слоя через 5д, мо¬жем аналогично равенствам (11.16) и (11.17) написать:
где 8с = V / Б — диффузионный критерий Шмидта (аналог теплового критерия Прандтля).
Так как 8с представляет собой величину либо близкую к еди¬нице (для газов), либо много большую единицы (для жидкой среды), то в отличие от аналогичных равенств для теплового пограничного слоя, уравнения (11.21) и (11.22) пригодны для любой среды.
Для местного значения коэффициента массообмена будем иметь уравнение, аналогичное (11.19):
ад = 0,332—Л/ЯеХ ^Зс, (11.23)
хх
а для среднего безразмерного значения этой величины, т. е. для диф-фузионного числа Нуссельта (или числа Шервуда), можем по ана¬логии с уравнением (11.20) написать следующее:
Определив №дср = 8Иср, можно вычислить количество вещества, отдаваемого одной стороной пластины потоку жидкости в единицу времени 3, кг/с:
ад ср^
J = ад>Ср (в (О, -Сср ) = -^ в— (Сп — Сср) =
= ^ д, ср в— ( Сп — Сср ) = ср вБ ( Сп — Сср ),
где в — ширина пластины.
В случае, когда V » а » — (это имеет место для газов), или, что все равно, Рг » Зс »1, все три пограничных слоя будут в соот¬ветствии с уравнениями (6.16), (11.17) и (11.22) совпадать между со¬бой по толщине, т. е. 6 = 6т = 6д .
Если скорость, температуру и концентрацию в пределах погра-ничного слоя выразить в безразмерных единицах:
и ё = Т — Тп С = С — Сп
и ’ Т — Т 5 С — С 5
^ ср п ^ср ^п то в рассматриваемом случае поля скоростей, температуры и кон¬центраций в пограничном слое будут описываться одной и той же кривой, о чем можно судить по предельным значениям этих величин:
при у = 0 их = 0, Т = Тп, С = Сп, или иначе их = ё = С = 0;
при у = 6 = 6т = 6д их = и, Т = Тср, С = Сср, или их = ё = С = 1.
Таким образом, при одинаковых значениях всех трех коэффици¬ентов переноса (V, а и П) в пограничном слое в этом случае имеет место полное подобие скоростного, температурного и концентрацион¬ного полей.
11.2.3. Связь между теплоотдачей и трением вязкостного
течения жидкости в пограничном слое
Найдем соотношение между теплоотдачей и напряжением силы трения в ламинарном пограничном слое.
Уравнения для теплового потока и напряжения силы трения на поверхности твердого тела, обтекаемого потоком жидкости, можно представить в виде:
Если примем, что критерий Прандтля Рг = 1, что имеет место в случае газов и ряда жидкостей, как было показано ранее (см. раздел 11.2.2), скоростное и температурное поля будут подобны и могут быть описаны одной кривой.
„ d0 dux
Следовательно —= = —=-.
dy dy
С учетом условия:
pr _ V _ H CPP _ HCP _ i
a p X X
находим, что p = Х/Ср.
В результате принятых упрощений уравнение (11.27) принимает
вид:
Но при этом
где 81 — критерий (число) Стентона, который выражает меру от¬ношения интенсивности теплоотдачи и удельной энтальпии по¬
тока жидкости (иначе он характеризует соотношение скорости переноса тепла и скорости потока жидкости).
Уравнения (11.29) и (11.30) выражают аналогию между тепло-обменом и сопротивлением трения, представленную в безразмерной форме.
Это так называемая аналогия Рейнольдса, которая справедлива и в случае турбулентного пограничного слоя. Используя значение коэф-фициента трения, полученное ранее при рассмотрении турбулентного пограничного слоя (6.23), и с учетом уравнения (11.30), найдем в этом
НиСр = 0^ = 0,037 Яе0,8 , (11.32)
где Них и ах — местные значения, зависящие от координаты х, а Ниср и аср — средние значения числа Нуссельта и коэффициента теплоот¬дачи. Для практических расчетов теплоообмена в условиях вынуж¬денной конвекции уравнения (11.19), (11.20), полученные для лами¬нарного пограничного слоя, и уравнения (11.31), (11.32), полученные для турбулентного слоя, требуют коррекции ввиду того, что темпе¬ратура в пограничном слое меняется в пределах АТ = Тп — Тср. Следовательно, изменяются физические параметры жидкости (X, ц, V, р и др.) и коэффициент теплообмена.
Далее будут рассмотрены различные конкретные случаи конвек-тивного теплообмена в зависимости от режима движения потока жид¬кости, геометрии твердого тела и условий протекания процесса. Расчетные уравнения для оценки коэффициента теплообмена (или числа Нуссельта) при этом обычно носят эмпирический характер, но основаны на использовании полученных теоретических критери-альных зависимостей [к примеру, (11.19), (11.20) и (11.31), (11.32)].
11.3 ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ПОВЕРХНОСТИ
ПЛАСТИНЫ
Если плоская поверхность пластины омывается потоком жид¬кости с постоянной скоростью и, то, начиная от передней кромки пластины, на ней образуется гидродинамический пограничный слой о (см. рис. 6.1). В нем вследствие трения скорость жидкости изменяется от скорости, равной скорости невозмущенного потока и, до нуля.
Течение жидкости в пограничном слое может быть как лами¬нарным, так и турбулентным (см. рис. 6.3).
О режиме течения в пограничном слое судят по величине крите¬рия Рейнольдса.
11.3.1. Ламинарный пограничный слой
Ламинарный режим течения в пограничном слое при обтекании пластины имеет место в изотермическом потоке при Яе^ < 5 105, а в неизотермическом — при Яе^ < 4 104 Разрушение ламинарного слоя зависит от степени турбулентности набегающего потока.
При наличии разности температур между потоком жидкости и пластиной у ее поверхности, кроме гидродинамического, образуется также и тепловой ламинарный пограничный слой (см. рис. 11.1).
В пределах теплового пограничного слоя температура жидкости изменяется от температуры потока вдали от пластины Тср (или Тж) до температуры, равной температуре поверхности пластины (иначе температура стенки Тс).
Анализ опытных данных показывает, что коэффициент тепло¬отдачи зависит не только от изменений характера течения жидкости (скорость, режим движения), но также от физических свойств жидкос¬ти (вязкость, теплопроводность и др.), являющихся функцией темпе¬ратуры, температурного напора (Тс — Тж) и направления теплового по¬тока.
Последнее связано с тем, что коэффициент теплообмена а зави¬сит от того, нагревается жидкость или охлаждается.
Согласно предложению М.А. Михеева, при установлении зависи-мости а от направления теплового потока в ранее полученные урав¬нения подобия (11.19) или (11.20) необходимо ввести поправочный
множитель (Ргж /Ргс )’
При нагревании жидкости эта поправка будет больше единицы, а при охлаждении — меньше единицы.
Таким образом, для определения местного (иначе локального) коэффициента теплоотдачи пластины ах, омываемой продольным по¬током жидкости при ламинарном режиме в пограничном слое, можно рекомендовать следующее выражение:
Аналогично для определения среднего коэффициента теплоот¬дачи пластины аср получим следующую зависимость:
Для газов значение Pr практически не зависит от температуры, поэтому уравнение (11.34) можно упростить.
К примеру, для воздуха Pr = 0,71, и расчетное уравнение прини¬мает вид:
№ ср.ж = 0,57 Яа0ж5. (11.35)
При турбулентном гидродинамическом пограничном слое под
турбулентным ядром пограничного слоя жидкости у поверхности
пластины образуется тонкий ламинарный слой текущей жидкости, на¬*
зываемый, как уже ранее отмечалось, ламинарным подслоем 5 , в котором происходит основное изменение скорости потока (см. рис. 6.3).
Также в ламинарном подслое происходит изменение темпера¬туры текущей жидкости АТ = Тс — Тж, так как в турбулентном ядре пограничного слоя вследствие интенсивного перемешивания жидкос¬ти изменения температуры практически не происходит. Следова¬тельно, ламинарный подслой определяет основное гидродинамичес-кое и термическое сопротивление в процессе конвективного теплооб¬мена.
Для определения среднего коэффициента теплоотдачи капельных жидкостей в турбулентном пограничном слое у поверхности плас¬тины рекомендовано уравнение, полученное на основе выражения (11.32):
Для газов, с учетом независимости критерия Прандтля от темпе¬ратуры, уравнение (11.36) упрощается. Так, в случае воздуха имеем:
№ ср.ж = 0,032ReЖ8. (11.37)
На рис. 11.2 и 11.3 приведены результаты обобщения опытных данных теплоотдачи пластины при ламинарном и турбулентном ре¬жимах движения жидкости в пограничном слое.
Анализ приведенных данных на рис. 11.2 -11.3 показывает, что они удовлетворительно описываются уравнениями (11.36) — (11.37).
11.4. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В
ТРУБАХ
На рис. 11.2 и 11.3 приведены результаты обобщения опытных данных теплоотдачи пластины при ламинарном и турбулентном ре¬жимах движения жидкости в пограничном слое.
Расчет теплоотдачи при движении жидкости в трубах представ¬ляет значительный практический интерес, так как трубчатые аппа¬раты и теплообменники нашли самое широкое применение в различ¬ных отраслях промышленности, в частности, в металлургическом и химическом производствах.
Как отмечалось ранее (см. гл. 5,6), при движении жидкости в трубах в зависимости от числа Рейнольдса возможен ламинар¬ный или турбулентный режимы движения.
При этом число Рейнольдса оп¬ределяется по формуле: иср й
V
где иср — средняя скорость пото¬ка жидкости; й — внутренний диаметр трубы; V — кинематический коэффициент вязкости.
Критическое значение числа Рейнольдса при движении в трубах составляет:
Яекр ~ 2000 — 2300 (рис. 11.4).
Ламинарный режим течения при низких скоростях в потоке со-ответствует значению числа Рейнольдса Яе < 2300, а при значениях Яе > 104 устанавливается устойчивый турбулентный режим (см. рис. 11.4).
Режим течения, соответствующий значениям числа Рейнольдса 2300 < Яе < 104, называется переходным. Течение жидкости и тепло-передача в трубах отличается рядом особенностей.
Понятия гидродинамического и теплового пограничного слоев в том смысле, в каком они были использованы для расчета теплообмена при плоском течении, сохраняют силу лишь для начального участка трубы, пока пограничные слои, увеличиваясь по длине трубы, не сом¬кнутся, заполнив полностью поперечное сечение трубы. Начиная с этого момента влияние гидродинамического и теплового сопротив-ления распространяется на все сечение потока жидкости (рис. 11.5).
Как в случае ламинарного, так и в случае турбулентного движе-ния, стабилизация потока с характерным для этих режимов распре-делением скоростей по сечению наступает не сразу при входе потока в трубу.
В начале трубы образуется ламинарный или турбулентный погра-ничный слой, толщина которого растет по мере удаления от входного сечения, и затем пограничные слои сливаются (см. рис. 11.5).

Рис. 11.5. Гидродинамическая стабилизация движения жидкости на начальном участке трубы: а) — ламинарный режим; б) — турбулентный
режим
Начальный участок трубы, на котором устанавливается стаби-лизированное распределение скоростей, называется участком гидро-
динамической стабилизации Ьн.
Длина этого участка для ламинарного потока определяется выраже-нием:
Ь = 0,05 ¿Яе. (11.38)
При турбулентном режиме движения: Ьн ~ 0,05 ¿, (11.39)
т. е. не зависит от числа Яе.
В ламинарной области течения теплоперенос осуществляется в этом случае только путем теплопроводности, перпендикулярно нап-равлению течения.
С ростом скорости ламинарное движение постепенно разруша-ется. При Яе > 104 устанавливается устойчивый турбулентный режим, при котором происходит интенсивное перемешивание жидкости, обу-словленное вихревым движением, что заметно интенсифицирует кон-вективный теплообмен.
Теплота передается молекулярной теплопроводностью лишь в очень тонком ламинарном подслое 5* (см. рис. 11.4, 11.5), далее она поступает в ядро турбулентного потока.
При увеличении скорости интенсивность турбулентного переме-шивания растет, что ведет к уменьшению толщины пограничного слоя. При этом снижается термическое сопротивление пограничного слоя, что также ведет к интенсификации теплообмена.
Режим течения, соответствующий переходному, характеризуется одновременным сосуществованием ламинарного и турбулентного ре-жима движения.
При ламинарном изотермическом течении жидкости внутри тру-бы устанавливается параболический профиль скоростей. При турбу-лентном потоке распределение скорости по поперечному сечению подчиняется логарифмическому закону. Максимальный градиент ско-рости относится к ламинарному подслою, а в ядре потока эпюра ско-ростей имеет пологий характер (рис. 11.4, 11.5).
11.4.1. Теплоотдача при ламинарном режиме
Как уже отмечалось, при ламинарном течении перенос тепла от одного слоя жидкости к другому в направлении нормали к стенке осуществляется посредством молекулярной теплопроводности. В то же время каждый слой имеет в общем случае различную скорость продольного движения, поэтому наряду с поперечным переносом теплоты путем молекулярной теплопроводности происходит также конвективный перенос тепла в продольном направлении. Вследствие этого теплообмен при ламинарном режиме течения зависит от гид¬родинамики движения жидкости.
Рассмотрим развитие процесса теплообмена по длине трубы.
Пусть во входном сечении температура жидкости постоянна и по величине отличается от температуры стенки трубы. По мере движе¬ния потока между жидкостью и стенкой происходит процесс теплооб¬мена и температура жидкости постепенно меняется.
Вначале вблизи от входного сечения изменение температуры про¬исходит лишь в тонком пограничном слое около поверхности. Затем по мере удаления от входного сечения в связи с ростом толщины пограничного слоя все большая часть потока вовлекается в процесс теплообмена. Таким образом, развитие процесса теплообмена внутри труб вначале происходит качественно так же, как и при ламинарном пограничном слое на пластине.
Около поверхности трубы образуется тепловой пограничный слой, толщина которого постепенно увеличивается в направлении движния потока. На некотором расстоянии Ьнт от входа трубы тепловые пограничные слои смыкаются, и в процессе теплообмена участвует далее весь поток жидкости (рис. 11.6). Расстояние Ьнт представляет собой участок тепловой стабилизации и при ламинарном движе¬нии может быть оценен по формуле:
¿нг = 0,055 <^ЯеРг = 0,055 <^Ре. (11.40)
при ламинарном движении жидкости
Обычно на практике ламинарный режим имеет место при течении достаточно вязких теплоносителей, для которых Pr >> 1.
На расстоянии большем, чем Ьнг, профиль распределения темпе¬ратур по сечению трубы продолжает изменяться, так как в рассмат¬риваемом случае температура нагретой жидкости постепенно снижа¬ется.
Если температуры стенки трубы и жидкости меняются вдоль тру¬бы (см. рис. 11.6), то для определения среднего коэффициента тепло¬отдачи используют средние значения этих температур Тж.ср и Тс.ср Во многих случаях температура стенки меняется незначительно и можно принять Тс = const.
Осреднение Тж по длине трубы проводят с учетом величины ее изменения. При небольшом изменении Тж.ср определяют как средне-арифметическую из крайних значений в начальном и конечном се¬чении трубы:
Т = 05 (Т н + Т к)
ж,ср ж ж
В общем случае осреднение проводится по формуле:
(тн — Тк)
T _ T ± ж ж ср _ T (T н _ T
ln Тж T
к
тж _ Tc
Знак «плюс» берется при охлаждении жидкости, а знак «минус» -при ее нагревании.
При значительной разности температур в потоке возникает, как следствие, разность плотностей различных слоев жидкости. В этом
случае на вынужденное движение накладывается свободное движе¬ние, турбулизирующее поток, и теплообмен интенсифицируется. Влияние свободной конвекции заметно при Огж Ргж > 8 105.
Средний коэффициент теплоотдачи можно определить, используя эмпирическую зависимость (в случае, когда Огж Ргж < 8 105, критерий Огж при расчетах не учитывается):
За определяющую температуру, при которой рассчитаны физические константы жидкости, берется Тж.ср.
Участок при Ь/С > 50 соответствует области стабилизированного конвективного теплообмена при Ь > Ьнт (см. рис. 11.6) и поправке еЬ = =1,0 (см. ниже табл.).
Область при Ь/сС < 50 характеризует нестабилизированный теплооб¬мен на начальном участке потока, для которого вводится поправка еЬ. Поправочный коэффициент еЬ зависит от отношения Ь /С:
Ь/й 1 2 5 10 15 20 30 40 50
£ь 1,90 1,70 1,44 1,28 1,18 1,13 1,05 1,02 1,0
Для воздуха и двухатомных газов число Прандтля практически не зависит от температуры, поэтому уравнение (11.43) упрощается и в случае воздуха принимает вид:
Киср.ж = ад^жа3 •еЬ. (1144)
Как видно на рис. 11.7, в области переходного режима течения жидкости опытные точки не объединены единой зависимостью.

Рис. 11.7. Средняя теплоотдача при ламинарном и переходном режимах потока жидкости в трубе. Огж: 1 — 1; 2 — 100; 3 — 104;
4 — 106; 5 — Ко=0,021 Яе0,8жа
С увеличением числа Яе теплоотдача резко возрастает, причем замет¬ное влияние на теплообмен оказывает естественная конвекция, вели¬чину которой характеризует число Огжй. С ростом числа Грасгофа увеличивается величина комплекса К0 и коэффициента теплоотдачи а. При устойчивом турбулентном течении (Яе > 104) все кривые сов¬падают.

11.4.2. Теплоотдача при турбулентном движении жидкости
При турбулентном режиме движения перенос теплоты внутри жидкости осуществляется в основном путем перемешивания. При этом процесс перемешивания протекает настолько интенсивно, что по сечению турбулентного ядра потока температура жидкости практи¬чески постоянна.
Резкое изменение температуры наблюдается внутри тонкого ла-
*
минарного подслоя 5 у поверхности трубы (см. рис. 11.4, 11.5).
Длина участка тепловой стабилизации (рис. 11.6) при турбулент-ном режиме движения равна: Ьнт = 50 &
Естественная конвекция при данном режиме не оказывает замет-ного влияния на теплопередачу (см. рис. 11.7).
На основе анализа и обобщения результатов экспериментальных исследований для расчета средней теплоотдачи при турбулентном ре-жиме течения жидкости в трубе предложена следующая зависимость:
За определяющую температуру при расчетах принимается Тж.ср.
Коэффициент 8ь учитывает изменение среднего коэффициента теплоотдачи по длине трубы. Если Ь/С > 50, то 8ь = 1. При Ь/с1 < 50 необходимо учитывать влияние теплового начального участка Ьнт.
Значения 8ь = /(Ь/сС , Яеж [) при турбулентном течении жидкости в трубе приведены в табл. 11.1.
Т а б л и ц а 11.1
Значения зависимости 8Ь = /(Ь/й , Кеж,й) при турбулентном
режиме
^еж,& Ь/й
1 2 5 10 15 20 30 40 50
104 1,65 1,50 1,34 1,23 1,17 1,13 1,07 1,03 1
2-104 1,51 1,40 1,27 1,18 1,13 1,10 1,05 1,02 1
5-104 1,34 1,27 1,18 1,13 1,10 1,08 1,04 1,02 1
105 1,28 1,22 1,15 1,10 1,08 1,06 1,03 1,02 1
106 1,14 1,11 1,08 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1
Как отмечалось ранее, в случае двухатомных газов и воздуха число Прандтля практически не зависит от температуры, что позво-ляет упростить формулу (11.46). В частности, для воздуха (Рг ~ 0,71),
имеем: Шср ж = 0,018Яеж[ 8ь . (11.47)
При движении жидкости в изогнутых трубах (коленах, отводах, змеевиках) возникает центробежный эффект. Поток жидкости отжи¬мается к внешней стенке, и в поперечном сечении возникает вторич¬ная циркуляция.
С увеличением радиуса кривизны Я влияние центробежного эф-фекта уменьшается и в пределе при Я= да (прямая труба) оно исчеза¬ет.
Вследствие возрастания скорости, вторичной циркуляции и, как следствие этого, увеличения турбулентности потока, значение средне¬го коэффициента теплоотдачи в изогнутых трубах выше, чем в пря¬мых.
Расчет теплоотдачи в изогнутых трубах производится по форму¬лам для прямой трубы с дополнительным введением в качестве сом¬ножителя поправочного коэффициента еЯ, который для змеевиковых труб определяется соотношением:
£Я = 1 + 1,77 (^Я), (11.48)
где Я — радиус змеевика; с1 — диаметр трубы.
Формулы (11.46) и (11.47) применимы при условии:
Яеж а = 104 — 5-106 и Ргж = 0,6 — 2500.
11.5. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ОБТЕКАНИИ
ТРУБ
В металлургической и химической отраслях промышленности большое распространение получили трубчатые теплообменники с пе-рекрестным током. Трубы в этом случае обтекаются наружным попе-речным (обычно перпендикулярным их оси) потоком жидкости.
При этом характерно образование в потоке жидкости вихревых зон (см. раздел 6.4), что ведет к повышению теплоотдачи на внешней поверхности труб при поперечном их обтекании по сравнению с про-дольным направлением.
11.5.1. Теплообмен при поперечном обтекании одиночной
трубы
Процесс теплоотдачи при поперечном обтекании труб имеет ряд особенностей, которые объясняются гидродинамикой движения жид¬кости вблизи поверхности трубы (см. разд. 6.4). Опыт показывает, что плавный, безотрывный характер обтекания трубы имеет место при низких значениях числа Рейнольдса (Яе < 5). При больших значе¬ниях числах Яе обтекание трубы сопровождается образованием в кормовой части вихревой зоны, как это показано на рис. 6.5 и 11.8, в. При этом условия омывания передней (фронтовой) и задней (кормо¬вой) половины цилиндра значительно отличаются.
В лобовой точке набегающий поток разделяется на две части и
обтекает переднюю часть периметра трубы. На поверхности трубы образуется пограничный слой, который имеет наименьшую толщину в лобовой точке и далее постепенно увеличивается.

Рис. 11.8. Поперечное обтекание цилиндрической трубы потоком жидкости: а — безотрывное (Яе <5); б — отрыв ламинарного пограничного слоя; в — отрыв турбулентного
пограничного слоя
Скорость жидкости, примыкающей к внешней границе погра¬ничного слоя, растет вдоль периметра трубы, а давление в соот¬ветствии с уравнением Бернулли уменьшается (см. рис. 6.4.). При достижении точки периметра, отвечающей углу ф ~ 90° (угол отсчи¬тывается от лобовой точки), скорость достигает наибольших значений и далее начинает уменьшаться, что сопровождается соответствующим увеличением давления. При этом пограничный слой становится неу¬стойчивым, в нем возникает обратное течение, которое оттесняет
поток от поверхности. В результате происходит отрыв потока и образование вихревой зоны, охватывающей кормовую часть трубы (рис. 11.8, б, в). Положение точки отрыва пограничного слоя зависит от значения Яе и степени турбулентности набегающего потока.
При ламинарном режиме движения положение зоны начала отрыва пограничного слоя характеризуется углом ф = 80 — 85° ( см. рис. 6.5). При значениях числа Яе = 1 105 — 4 105 ламинарный пограничный слой переходит в турбулентный, а отрыв пограничного слоя проис¬ходит при ф = 120 — 130° (рис. 6.5). Это смещение приводит к умень¬шению вихревой зоны в кормовой части цилиндрической трубы.

Рис. 11.9. Обтекание цилиндрической трубы поперечным потоком жидкости: а — зависимость отношения местного коэффициента теплоотдачи аф к среднему коэффициенту теплоотдачи аср от угла ф по окружности трубы; б — значение поправочного коэффициента £у, учитывающего влияния угла у; в -угол у между направлением потока жидкости и осью трубы х
(«угол атаки»)
Такая своеобразная картина движения жидкости при попереч¬ном обтекании одиночной трубы существенно влияет на значение коэффициента теплоотдачи по ее окружности.
На рис. 11.9 приведено изменение относительного коэффициента теп-лоотдачи по окружности трубы при Яе = 1 104 в зависимости от угла ф.
В лобовой части трубы (при ф = 0) коэффициент теплоотдачи имеет максимальное значение, что соответствует наименьшей толщи¬не пограничного слоя. По мере движения жидкости вдоль поверх¬ности трубы толщина пограничного слоя увеличивается, а интенсив¬ность теплообмена соответственно снижается. При значении угла ф ~ 1000 интенсивность теплообмена достигает минимального значения. Далее в кормовой части цилиндрической трубы коэффициент тепло¬отдачи возрастает за счет появления вихревой зоны в потоке и соот¬ветственно перемешивания жидкости в этой области.

Рис. 11.10. Изменение числа Ки по периметру цилиндрической трубы в зависимости от числа Яе: 1 — Яе = 39 800; 2 — 101 300; 3 — 170 000; 4 -257 600; 5 — 426 000; № = 1300 (а); 1100 (Ь); 900
(с); 700 (¿); 500 (е)
Рассмотренная зависимость местного коэффициента теплоотдачи по периметру цилиндрической трубы очень существенно зависит от числа Рейнольдса, с ростом которого и с учетом перехода ламинар¬ного режима течения жидкости в пограничном слое в турбулентный при Re > Reкр, о чем говорилось выше, увеличивается турбулизация потока в кормовой части трубы и соответственно растет интенсив¬ность теплообмена.
Зависимость числа Нуссельта от Яе приведена на рис. 11.10, которая наглядно демонстрирует отмеченные особенности зависимости Ш = ДЯе).
Средний коэффициент теплоотдачи также заметно зависит от угла у (см. рис. 11.9, б, в) между направлениями потока жидкости и оси ци¬линдра х («угол атаки»), что учитывается при расчетах поправочным коэффициентом 8у. Сложный характер теплообмена, связанный с особенностями движения жидкости при поперечном обтекании трубы (отрыв струи и образование вихрей), затрудняет теоретическое иссле-дование процесса, поэтому все приведенные ниже результаты полу¬чены экспериментальным путем.
Средний коэффициент теплоотдачи для случая поперечного об-текания одиночной трубы может быть определен по следующим фор-мулам.
При условии 0,6 < Рг < 800 и Яе = 5 — 103 :
При условии 0,6 < Рг < 800 и Яе = 103 — 2-105 :
При условии 0,6 < Рг < 800 и Яе = 2-105 -107
Для воздуха и двухатомных газов эти формулы упрощаются.
В случае воздуха получено следующее выражение:
при Re = 10 — 103
NuСр.жd = 0,43Re£dsv ; (11.52)
при Re = 103 — 2105
Nuср.жd = £у . (11.53)
В формулах (11.49) — (11.51) значение показателя m в случае нагрева жидкости равно 0,25, а при ее охлаждении — 0,2.
Значение поправочного коэффициента £у в области у = 30 — 900 можно определить по формуле:
£у = 1 — 0,54 cos2 у. (1154)
11.5.2. Поперечное обтекание пучка труб
Компоновка труб в пучки или пакеты нашла широкое распро-странение в конструкциях теплообменников, радиаторов и в тепловых аппаратах различных технологических процессов металлургической и других отраслей промышленности.
На практике применяют шахматное (рис. 11.11, б) или коридор-ное (см. рис. 11.11, а) расположение труб в пучке. Геометрию пучков задают диаметром труб d, количеством рядов труб и относительными расстояниями между осями труб по ширине пучка s1/d и осями двух соседних рядов в продольном направление пучка s2/d (см. рис. 11.11).
От расположения труб в пучке в значительной степени зависят гидродинамика потока жидкости и характер обтекания труб разных рядов, а также интенсивность теплообмена. При этом если в канале было турбулентное движение жидкости, то оно сохранится и в пучке труб, причем степень турбулизации будет возрастать от ряда к ряду, так как пучок труб является достаточно хорошим турбулирующим устройством.

Рис. 11.11. Коридорная (а) и шахматная (б) компоновка трубных
пучков
Если же в канале перед пучком режим течения был ламинарным, то в зависимости от числа Яе в пучке труб может быть как лами¬нарное, так и турбулентное течение жидкости.
При значениях числа Яе < 10 ламинарный режим течения может сохраниться и в пучке труб.
При Яе = 10 — 10 лобовая часть трубы обтекается ламинарным пограничным слоем, а кормовая находится в вихревой зоне, при этом в межтрубном пространстве движение жидкости будет турбулентным.
Такой режим называют смешанным режимом движения жид¬кости. Рассмотрим его особенности. Обтекание труб первого ряда, независимо от расположения труб в пучке, практически не отличается от обтекания одиночной трубы и зависит только от начальной турбулентности потока. Характер обтекания следующих рядов труб в обоих пучках различен.
При коридорном расположении трубы любого ряда затеняются трубами предыдущего ряда, что ухудшает обтекание лобовой части и
большая часть поверхности трубы находится в слабой вихревой зоне (рис. 11.11, а).
При шахматном расположении труб загораживания одних труб другими не происходит (рис. 11.11, б).
Вследствие этого коэффициент теплоотдачи в шахматных пучках при одинаковых условиях выше, чем в коридорных.
Теплообмен труб в первом ряду можно рассматривать как обте-кание одиночного цилиндра независимо от геометрии пучка.
Трубы второго и последующих рядов лежат в вихревой зоне по-тока, создаваемой трубами первых рядов. Поэтому коэффициент теп-лоотдачи пучка труб выше, чем одиночной трубы.
На рис. 11.12, а и б показано изменение локального коэффициента теплоотдачи по окружности трубы в зависимости от угла ф для пер¬вого, второго и последующих рядов (1 — 7) шахматного (а) и кори¬дорного (б) пучков при смешанном режиме течения потока жидкости.

Рис. 11.12. Изменение относительного коэффициента теплоотдачи по периметру труб шахматного (а) и коридорного
(б) пучков труб
В коридорных пучках максимум теплоотдачи наблюдается не в лобовой точке, а при значениях угла ф ~ 50°. Лобовая часть непо-
средственому воздействию обтекающего потока не подвергается, поэ-тому здесь теплоотдача невысока.
В шахматных пучках максимум теплоотдачи для всех рядов оста-ется в лобовой точке.
Теплоотдача второго и третьего рядов по сравнению с первым постепенно возрастает. Если теплоотдачу третьего ряда принять за 100 %, то в шахматных и коридорных пучках теплоотдача первого ря¬да составляет около 60 %, а второго -в коридорных пучках около 90% и в шахматных — около 70 %.
Причиной возрастания теплоотдачи является увеличение турбу-лентности потока при прохождении его через пучок. Начиная с тре¬тьего ряда, турбулентность потока принимает стабильный характер, присущий данной компоновке пучка.
По абсолютному значению теплоотдача в шахматных пучках вы¬ше, чем в коридорных, что обусловлено более высокой степенью тур- булизации потока жидкости, омывающей трубы.
На основе обобщения опытных данных для расчета среднего ко-эффициента теплоотдачи рекомендуются следующие соотношения (для расчета, начиная с третьего ряда в пучке труб):
1. В коридорном пучке труб.
о
При условии Re ж а < 10 :
Мы Ср.ж а = 0,56*^ РгЖ’36
О С
При условии 10 < *е ж а < 10:
2. В шахматном пучке труб.
о
При условии *е ж а < 10 :
При условии 103< Яе ж ё < 105:
Влияние компоновочных характеристик пучка труб определяется поправочным коэффициентом 8$, который определяется для шахмат¬ного пучка при 51/52 < 2 по формуле 8$ = (Зх/Зу0,166 и при $1/$2 > 2 8$ = 1,12. Для коридорного пучка 8$ = ($2/ё) °’15.
Если пучок труб омывается вынужденным потоком жидкости под углом у < 90° («угол атаки»), то необходимо учитывать поправочный коэффициент 8у, значения которого приведены в табл. 11.2 в зависи¬мости от у.
В случае двухатомных газов и воздуха приведенные формулы (11.55 — 11.58) можно упростить, приняв отношение Ргж/Ргс = 1.
Т а б л и ц а 11.2
Значения поправочного коэффициента 8у для пучка труб
у 90 80 70 60 50 40 30 20 10
8у 1 1 0,98 0,94 0,88 0,78 0,67 0,52 0,42
Средний коэффициент теплоотдачи для всего пучка труб опре-деляется с учетом средних коэффициентов теплоотдачи для отдель¬ных рядов:
п
Т а, ■ $
ап = ^ , (1159)
Т $
, =1
где п — число рядов в пучке; — поверхность теплообмена ,-го ряда
труб.
11.6 ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ
КОНВЕКЦИИ
При свободной (или естественной) конвекции поток жидкости возникает под действием неоднородного поля плотности, причем обычно причиной неоднородности плотности жидкости служит нео-днородность температурного поля. В этом случае движение возникает под действием разности плотностей нагретых и холодных масс нерав¬номерно прогретой жидкости. Свободное движение при этом опреде¬ляется наличием теплообмена, который служит причиной возникно¬вения естественной конвекции.
Как отмечалось ранее (см. гл. 1 и разд. 9.4.2) наличие неоднородного поля плотностей вызывает появление результирующих подъемных сил, приводящих жидкость в движение (см. рис. 1.1), которое назы-вают гравитационной свободной конвекцией.
Характер свободного движения у нагретой вертикальной или го¬ризонтальной пластин, показан на рис. 11.13.

Рис. 11.13. Теплообмен при свободной конвекции: а — характер движения и изменение местного коэффициента теплоотдачи у вертикальной нагретой стенки; б — профиль скоростного и температурного полей в пограничном слое у поверхности вертикальной стенки; в — характер движения жидкости у нагретой горизонтальной пластины
У поверхности вертикальной пластины образуется ламинарный слой, толщина которого растет по мере движения жидкости вдоль пластины (см. рис. 11.13, а).
некоторой высоте ламинарный слой переходит в турбулентный с образованием ламинарного подслоя. Коэффициент теплоотдачи вна-чале уменьшается с увеличением толщины ламинарного погранич-ного слоя, но в области турбулентного движения он заметно возрас-тает и далее процесс теплообмена стабилизируется (см. рис. 11.13, а).
Распределение скорости и температуры в пограничном слое 5(!) приведено на рис. 11.13, б. На поверхности стенки и за пределами пограничного слоя скорость равна нулю, а в пределах пограничного слоя проходит через максимум.
Температура в пограничном слое меняется от температуры стен-ки Тс до температуры жидкости Тж (за пределами пограничного слоя).
Типичный вид возникающего свободного потока жидкости у нагретой горизонтальной плиты приведен на рис. 11.13, в.
При оценке числа Нуссельта Киср в случае естественной конвекции определяющим критерием в критериальном уравнение служит критерий Грасгофа (см. гл. 9), который характеризует гидродинамику
С учетом протекающего теплообмена для характеристики интен-сивности и гидродинамики свободного потока жидкости принято использовать в критериальном уравнении сложный критерий Рэлея (9.54): Яа = ОгРг.
Установлено, что переход ламинарного движения в пограничном слое в турбулентный режим в свободном потоке происходит при условии:
Яаж = Огж уРГж > 7-108, (11.60)
где при расчете критерия Грасгофа принимается Ь = I — координата, определяемая от нижней кромки вертикальной пластины
теплоотдачи в условиях свободной конвекции: 1 — вертикальные
трубы и плиты (Ь=Н); 2 — горизонтальные трубы (Ь=ё)
На рис. 11.14 приведены обобщенные опытные данные теплопе-редачи при свободной конвекции для различных жидкостей. В ре-зультате обобщения экспериментальных данных (см. рис. 11.14) для среднего числа Нуссельта получено следующее соотношение:
Значения коэффициентов С и п в уравнении (11.61) зависят от кри¬терия Рэлея: Ra = ОгжРгж и приведены в табл. 11.3.
При Ra = ОгжРгж < 2• 107 имеет место ламинарный режим движения, а соответственно при Ra = ОгжРгж > 2 • 107 — турбулентный.
Формула (11.61) применима для любых жидкостей и газов при Рг > 0,7 и для тел любой формы и размера.
За определяющую температуру взята средняя температура пог-раничного слоя: Тср = 0,5 (Тж + Тс).
Т а б л и ц а 11.3
Значения коэффициентов С и п в уравнении (11.61)
ОГжРГж 10-3 — 5102 5102 — 2107 > 2107
С 1,18 0,54(0,5< Рг <10 0,65(Рг >10) 0,135
п 1/8 1/4 1/3
За определяющий размер для труб и шаров принимается диаметр, для вертикальных плит — их высота и для горизонтальных плит — их меньшая сторона. Для горизонтальных плит коэффициент теплоот¬дачи, определенный по формуле (11.61), увеличивается на 30 %, если нагретая сторона плиты обращена вверх, и уменьшается на 30 %, если горячая сторона обращена вниз.
Ранее рассмотрены условия теплообмена в неограниченном прос-транстве, где протекало лишь одно явление, например, нагрев жид¬кости.
В ограниченном пространстве явления нагревания и охлаждения жидкости протекают вблизи друг от друга и разделить их невозмож¬но. В этом случае оба процесса надо рассматривать в целом.
Вследствие ограниченности пространства и наличия восходящих и нисходящих потоков условия движения усложняются. Они зависят от формы и геометрических размеров канала, от рода жидкости и тем-пературного напора.
В вертикальных каналах и щелях в зависимости от их толщины циркуляция жидкости может протекать двояко. Если толщина 51 дос-таточно велика, то восходящий и нисходящий потоки протекают без взаимных помех (рис. 11.15, а) и имеют такой же характер, как и вдоль вертикальной поверхности в неограниченном пространстве. Если же толщина 62 мала, то вследствие взаимных помех внутри возникают различные циркуляционные контуры (рис. 11.15, б).

Рис. 11.15. Естественная конвекция в ограниченном замкнутом
пространстве: а и б — вертикальные щели; в, г — шаровые или
цилиндрические пространства
В шаровых и горизонтальных цилиндрических прослойках в зави¬симости от их толщины (или соотношения диаметров) циркуляция протекает по схемам рис. 11.15, в или г. В этом случае циркуляция развивается лишь в зоне, лежащей выше нижней кромки нагретой поверхности.
Для облегчения расчета достаточно сложного процесса свободной конвекции в ограниченном пространстве принято рассматривать его как элементарное явление теплопроводности, вводя при этом понятие эквивалентного коэффициента теплопроводности :
^экв = Я О / АТ,
где Хэкв — эквивалентная теплопроводность, учитывающая конвектив-
ный теплоперенос; АТ = Тс1 — Тс2 — температуры горячей и холодной
^ и и ^ О
поверхностей, разделенных жидкостной прослойкой; о — толщина щели и Я — плотность теплового потока в процессе свободной конвек¬ции. Если значение Хэкв разделить на коэффициент теплопроводности X среды, то получим безразмерную величину £к = Хэкв/ X, которая характеризует собой влияние конвекции и называется коэффициен¬том конвекции.
Так как циркуляция жидкости обусловлена разностью плотностей нагретых и холодных частиц и определяется произведением ОгжРгж, то и £к = / (ОГж-РГж).
Эта зависимость представлена на рис. 11.16.

Рис. 11.16. Зависимость вк = У(Огж-Ргж) при естественной конвекции в замкнутом пространстве: +- плоская горизонтальная газовая прослойка; х — то же вертикальная; о — цилиндрическая газовая прослойка; • — цилиндрическая жидкостная прослойка; 0 — шаровая газовая прослойка. 1 — вк = 0,105(ОГж-РГж)0’3; 2 — вк = 0,4(ОГж-РГж)02; 3 — вк = 0,18(ОГж’РГж)0’25 При вычислении чисел подобия независимо от формы прослойки за определяющий размер принимается ее толщина 6, а за определя¬ющую температуру -средняя температура жидкости:
Тж = 0,5 (ГС1 + ГС2).

Несмотря на условность такой обработки, опытные данные для плоских, цилиндрических и шаровых прослоек хорошо описываются общей зависимостью.
Таким образом, Аэкв определяется соотношением:
^экв = £к Аж, (11.62)
где теплопроводность жидкости Аж и поправочный коэффициент £к определяется графиком на рис. 11.16.
11.7 ТЕПЛООТДАЧА В ЖИДКИХ МЕТАЛЛАХ
11.7.1. Теплообмен в условиях вынужденной конвекции
Рассмотренные выше уравнения для расчета коэффициента теплоотдачи, как правило, применимы для неметаллических жидкос-тей.
Металлы характеризуются очень высокой теплопроводностью (см. разд. 2.1), поэтому число Прандтля для жидких металлов состав-ляет обычно Ргж = у/а << 1,0 (0,005 — 0,05).
Это условие означает, что в жидких металлах теплоперенос преи-мущественно осуществляется молекулярной теплопроводностью, ко-торая в этом случае заметно выше конвективного теплопереноса.
Ламинарный режим движения
Для жидких металлов при Ргж << 1,0 и 6 < 5хтепловой погранич-ный слой проникает в ядро потока.
В случае ламинарного движения вдоль плоской поверхности ре-шение дифференциального уравнения (11.11) имеет вид:
С учетом уравнения (11.19) и аналогично уравнению (11.20) в случае ламинарного движения жидких металлов вдоль пластины для среднего значения числа Нуссельта получим:
ШСр.ж = 0,82^^ • ?ГЖ (1 -1,026 Prж0 33). (11.64)
Для оценки местного значения числа Нуссельта можно при этом использовать уравнение:
л/яёГ^РгГ
Шжх = ^ ж X ж =. (11.65)
ж х 1,5^/РГж + 3,09^0,372 — 0,15 Ргж
Турбулентный режим движения
Для металлических жидкостей при расчете среднего числа Нус-сельта в случае турбулентного пограничного слоя при течении по плоской поверхности предлагается уравнение (10 < Яеж Pгж< 10 ):
КиСр.ж = 0,46 (Яе ж • PГж )0-65. (11.66)
Стабилизированный теплообмен жидких металлов при турбу-лентном течении в цилиндрической трубе описывается уравнением (при Ь > 30^):
№ср.ж = 3,4+0,014(Яеж • Ргж )0,8. (11.67)
11.7.2. Теплообмен при свободной конвекции
Теплообмен жидких металлов в условиях естественной конвек-ции при всех режимах движения характеризуется очень существен-ным влиянием молекулярной теплопроводности и при условии ОгжРг2ж = 10 — 104 определяется соотношением:
Nср.ж = 0,53(вГж • Ргж)°’25. (11.68)
В качестве определяющей температуры принимается средняя температура пограничного слоя Тср = 0,5 (Тж + Тс). Определяющий линейный размер: диаметр — в случае горизонтальных труб и высота — для вертикальной трубы или плоской стенки.
11.8. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
11.8.1. Теплоотдача при кипении жидкостей
В металлургической и химическом промышленности многие тех¬нологические процессы связаны с испарением жидкости (дистил-ляция, ректификация, выпарка и др.).
Теплообмен при кипении используется не только в аппаратах, предназначенных для испарения жидкости, но и как возможный интенсивный способ охлаждения поверхности твердого тела.
Коэффициент теплоотдачи при кипении может на несколько по-рядков превышать коэффициент теплоотдачи при конвективном теплообмене поверхности твердого тела с жидкостью.
Условием возникновения процесса кипения жидкости является ее перегрев в сравнении с температурой Т0 -равновесной температурой кипения жидкости при заданном давлении.
Перегрев жидкости Тж в процессе кипения связан с необходи-мостью подвода дополнительной энергии, расходуемой на образо-вание зародышей паровой фазы (работа или энергия образования но¬вой фазы): АТ = Тж — Т0.
Шероховатость поверхности нагрева твердого тела или наличие в жидкости растворенного газа и различного рода взвешенных частиц снижают энергию образования зародышей пара, что облегчает про¬текание процесса парообразования и снижает величину необходимого перегрева жидкости АТ. В этом случае пузырьки пара образуются в отдельных точках поверхности, называемых центрами парообразо¬вания
Таким образом, процесс кипения в этом случае начинается в пограничном слое жидкости, контактирующем с нагретой поверх-ностью твердого тела и имеющем одинаковую с ней температуру Тс . По мере увеличения температуры поверхности нагрева Тс и соответ-ственно температурного напора АТ = Тс — Т0 число действующих центров парообразования растет, процесс кипения становится все бо¬лее интенсивным.
Паровые пузырьки периодически отрываются от поверхности и, всплывая к свободной поверхности, продолжают расти в объеме. Пос-леднее объясняется тем, что температура в объеме кипящей жидкости не равна температуре насыщения Т0, а несколько превышает ее.
Например, для воды при атмосферном давлении перегрев в объе-ме составляет ~ 0,4° (рис. 11.17). Плотность теплового потока д и коэффициент теплоотдачи а ависят от величины перегрева АТ = =ТС — Го.

Рис. 11.17. Распределение температуры в объеме кипящей воды при атмосферном давлении (105 Па): Гс=109,10С; а — вода (Гж=100,40С); б — поверхность воды; в — пар (Т0=1000С); д = 22 500 Вт/м2; Ь — расстояние от нагревающей стенки Это обусловлено существованием двух различных режимов ки¬пения: пузырькового, который характеризуется образованием на наг-
ретой поверхности отдельных паровых пузырей, и пленочного, при котором образуется сплошная паровая пленка.
При пузырьковом кипении в большом объеме пограничный слой жидкости разрушается образующимися пузырьками пара, которые всплывают, турбулизируя жидкость и интенсифицируя теплообмен.
При дальнейшем увеличении плотности теплового потока, что связано с ростом АТ = Тс — Т0, количество образующихся пузырьков возрастает и они образуют на поверхности нагретой стенки сплош-ную паровую пленку. Этому условию отвечает пленочный режим ки-пения.

Рис. 11.18. Зависимость коэффициента теплоотдачи при кипении воды в большом объеме от плотности теплового потока: ОВА — пузырьковый режим кипения; БГД — пленочный режим кипения; АБ — переходной режим; АГ — мгновенный переход от пузырькового режима к пленочному кипению; БВ — обратный переход от пленочного режима к пузырьковому кипению Интенсивность теплоотдачи при пленочном режиме на порядок ниже, чем при пузырьковом. Это объясняется большим термическим
сопротивлением парового слоя на поверхности теплообмена вследствие низкой теплопроводности пара.
На рис. 11.18 показана зависимость коэффициента теплоотдачи при кипении воды от плотности теплового потока. Верхняя возрастающая ветвь ОВА соответствует пузырьковому кипению, нижняя ветвь БГД — режиму пленочного кипения. В точке А коэффициент теплоотдачи достигает максимального значения. При дальнейшем увеличении плотности теплового потока пузырьковый режим переходит в пленоч-ный и коэффициент теплоотдачи резко падает до значений в области точки Г.
На участке АБ режим кипения называют переходным, в этом случае одновременно могут сосуществовать пузырьковый и пленочный режимы кипения. Однако при фиксированном тепловом потоке переходный режим неустойчив и стационарно существовать не может. Возврат от пленочного кипения к пузырьковому происходит при значительно меньших тепловых потоках (точка Б).
Таким образом, наблюдается существование определенного гисте-резиса при переходе от пленочного кипения к пузырьковому.
Зависимость коэффициента теплообмена и величины теплового потока от температурного перегрева АТ = Тс — Т0 показана на рис. 11.19 для кипения воды в большом объеме при нормальном давлении.
При небольших значениях перегрева (АТ < 5о) на участке ОЕ нагрев воды до начала кипения протекает в условиях естественной конвекции. При АТ > 5о число центров парообразования становится достаточно большим для начала развитого пузырькового кипения (участок ЕА).
Переход пузырькового режима в пленочный наступает при АТ ~ ~25 — 35о в точке А, в которой наблюдается максимальное значение коэффициента теплоотдачи.
Стрелкой показано направление кризисного перехода («переско-ка») от пузырькового кипения к пленочному при постоянном значе¬нии теплового потока д (участок АГ).

Рис. 11.19. Зависимость коэффициента теплоотдачи а и плотности теплового потока д от температурного перегрева АТ = Тс — Т0 при кипении воды: ОЕА — пузырьковое кипение; БГ — пленочный режим кипения; АБ — переходный режим; дкр1 — первая критическая плотность теплового потока; дкр2 — вторая критическая плотность теплового потока; АТкр — переход пузырькового режима кипения в пленочный В практическом отношении переход пузырькового режима кипе¬ния в пленочный крайне нежелателен. При пленочном кипении тем¬пературный перегрев АТ = Тс — Т0 резко возрастает и, в соответствии с законом Ньютона — Рихмана: д = а АТ, коэффициент теплоотдачи очень заметно падает. Температурный перегрев при пленочном кипе¬нии может достичь значений нескольких сотен градусов. Температура поверхности стенки при этом значительно возрастает, что может выз¬вать ее разрушение.
Максимальная плотность теплового потока в точке А называется первой критической плотностью теплового потока qкр\.
Значение этой величины зависит от природы жидкости. Так, для воды при атмосферном давлении она составляет: дкр1 = 1,2-10 Вт/м .
При снижении д в точке Б происходит возврат пленочного ре-жима в пузырьковый. Значение плотности теплового потока в точке Б называется второй критической плотностью теплового потока
^кр2.
Она определяет минимальную плотность теплового потока при пленочном режиме кипения, соответствующую его переходу к пу-зырьковому кипению.
Изменение механизма теплоотдачи при переходе от пузырькового кипения к пленочному или от пленочного к пузырьковому называют кризисами кипения, а параметры, им соответствующие, — критичес¬кими.
Гидродинамические условия процесса кипения определяются ха-рактеристиками возникновения зародышей, их роста и отрыва пузы-рьков пара.
К таким характеристикам относят минимальный или критический радиус возникающего на поверхности нагрева парового пузырька Якр, отрывной диаметр пузырька Б0 и среднюю скорость роста парового пузырька на поверхности нагрева ио = О0 / (м/с). Величина / (1/с) соответствует частоте отрыва паровых пузырьков.
Пар внутри пузырька испытывает давление жидкости и сжима-ющее действие поверхностного натяжения.
Для сферической поверхности раздела фаз давление внутри паро¬вого пузырька определяется уравнением Лапласа:
2а
кр
Соотношение между перегревом АТ = Тс — Т0 и Якр получим из уравнения Лапласа (11.69) и уравнения Клапейрона-Клаузиуса:
Из уравнения (11.72) следует, что чем больше перегрев, тем больше активных центров парообразования, так как тем меньшего размера Окр микронеровности поверхности становятся центрами паро-образования.
На гладкой поверхности (например, стекло) кипение может наступить при больших перегревах — порядка нескольких десятков градусов.
Среднее число действующих центров парообразования при заданном перегреве АТ определяется кроме рельефа поверхности также ее адгезией и смачивающей способностью жидкости, которая определяется краевым углом смачивания 0.
При 0 < 90° (рис.
11.20, а) жидкость сма-
чивает поверхность наг¬ревающей стенки (мно¬гие металлические по-верхности смачивают вода, спирт, ацетон, бен¬зол и керосин), а при 0 > 90 (рис. 11.20, б)- не
смачивает (например, ртуть).
Если кипящая жидкость смачивает поверхность, то пузырек пара имеет тонкую ножку и легко отрывается, а если она не смачивает поверхность, то пузырек имеет широкое основание и отрыв его от
поверхности связан с большими усилиями и его объем к моменту отрыва будет больше, чем для смачивающей жидкости.
Рост парового пузырька на поверхности теплообмена происходит до определенного размера В0, и далее он отрывается от поверхности.
Отрыв пузырей осуществляется с помощью подъемной силы (н/м3): §(рж — рп), которая преодолевает силу поверхностного натяже¬ния а и гидродинамическое сопротивление при движении пузыря.
Отрывной диаметр пузырька В0 (м) при данном давлении р (бар) определяется формулой:
л а
В = 0,02 — —Лж ) . (11.73)
Р V § (р ж рп )
Скорость роста пузырей ио на поверхности нагрева в процессе кипения можно оценить следующим образом:
Таким образом, скорость роста пузырьков увеличивается с рос¬том теплопроводности, теплоемкости, плотности жидкости и темпе¬ратурного перегрева АТ, а также уменьшается с увеличением угла смачивания, поверхностного натяжения аж, плотности пара рп и теп¬лоты парообразования.
Скорость всплытия ип парового пузыря зависит от подъемной си¬лы, и ее можно представить следующим образом:
= 2§ (Рж — Рп ) Др2
9Рж
где Я0 -отрывной радиус пузыря; цж -вязкость жидкости.
Время роста и всплытия пузырей составляет от сотых долей секунды до нескольких секунд. сплытие пузыря занимает значительно больше времени, чем его развитие до В0 на поверхности нагрева, поэ¬тому пузырь пара при подъеме увеличивает свой размер почти на порядок по сравнению с величиной отрывного диаметра В0.
Основное количество пара (~ 95 % для Н2О) образуется при ис-парении жидкости в пузыре при его подъеме и лишь незначительная часть (~ 5 % для Н2О) в процессе развития пузырей на поверхности нагрева.
Ввиду сложного характера теплообмена при кипении в настоящее время не существует его строгой количественной теории. Имеется ряд подходов, развитых отечественными учеными (С. С. Кутателадзе, Г.Н. Кружилин, А.И. Леонтьев, Д.А. Лабунцов, М.А. Михеев и др.).
Коэффициент теплоотдачи при развитом пузырьковом кипении зависит от природы жидкости, плотности теплового потока, перегрева АТ = Тс — Т0 и давления.
Так, приближенный метод оценки теплоотдачи при развитом ки-пении был предложен Д.А. Лабунцовым и М.А. Михеевым.
Для расчета коэффициента теплоотдачи при кипении различных жидкостей может быть использовано выражение:
Все физические свойства жидкости и пара при расчете берутся при Т0.
В случае воды в диапазоне давлений (1 — 200 бар) для расчета а на основе уравнения (11.76) М.А. Михеев получил более простые формулы:
о л 0,18
а = _ЗДр д 2/з;
1 — 0,0045р
а = 0,3162 АТ2 33 • р0 5
Первую критическую плотность теплового потока при кипении в большом объеме жидкости можно определить по уравнению:
Я-Кр\ 0Д4 Гиспл1р п § (рж рп )] ,
7 7
где р (бар); д (Вт/м ) и а (Вт/м •К).
При вынужденном движении кипящей жидкости интенсивность теплоотдачи зависит от соотношения интенсивности процесса кипения и гидродинамических параметров потока жидкости.
При небольших скоростях движения теплоотдача преимущест¬венно осуществляется в процессе кипения (а = акип) и определяется уравнением (11.76).
При больших скоростях в турбулентном потоке (а = ао) теплоот¬дача определяется ранее рассмотренными уравнениями конвектив¬ного теплопереноса в условиях турбулентного потока без учета про¬цесса кипения. При этом принимают:
акип/ ао < 0,55 а ао; акип/ ао > 25 а акип.
В общем случае:
(11.78)
Для пленочного кипения характерно существование паровой пленки, покрывающей поверхность нагрева. Пленочное кипение про¬исходит при большей разности температур между твердой поверх¬ностью и жидкостью. Для воды (и большинства органических жид¬костей) при атмосферном давлении этот температурный напор состав¬ляет > 100°.
При высоких температурах при пленочном кипении часть тепла передается излучением.
Интенсивность теплообмена при пленочном кипении опреде¬ляется термическим сопротивлением паровой пленки. Движение в ней носит ламинарный характер.
Зависимость для расчета коэффициента теплоотдачи при лами-нарном движении паровой пленки имеет следующий вид.
В случае горизонтальной трубы:
Физические параметры пара относят к средней температуре:
Тср = 0,5 (Тс + Тж).
Вторая критическая плотность теплового потока определяется выражением:
Якр2 = 0,9 (Тпр — То) аср, (11.81)
где аср определяется по уравнениям (11.79) и (11.80); Тпр — темпе-ратура предельного перегрева, которая, к примеру, для воды сос¬тавляет:
Тпр = 300 + 0,33 (р — 1), гдер (бар).
11.8.2. Теплоотдача при конденсации
При соприкосновении пара с поверхностью, температура которой Тс ниже температуры насыщения Т0, пар начинает конденсироваться.
При этом выделяется теплота фазового перехода гисп, которая отводится через теплообменную поверхность. В случае, когда кон¬денсат образует на поверхности твердого тела сплошную устойчивую пленку, такая конденсация называется пленочной.
Пленочная конденсация имеет место, если конденсат обладает способностью смачивать поверхность твердого тела.
Если же конденсат не смачивает поверхность, например, при ее загрязнении, то поверхность покрывается отдельными каплями кон¬денсата. В этом случае конденсация называется капельной. При ка¬
пельной конденсации пар непосредственно соприкасается с поверх¬ностью теплообмена.
Пленочная конденсация устанавливается на шероховатых, метал-лических и покрытых оксидной пленкой поверхностях. Большинство промышленных аппаратов работает в режиме пленочной конден¬сации.
Коэффициент теплоотдачи при пленочной конденсации ниже, чем при капельной, так как стекающая пленка конден¬сата имеет большое термическое сопротивление. Например, при пленочной конденсации паров воды коэффициент теплоотдачи может достигать значений 1200, а при капельной — 10 Вт/м •К. Исключение составляет пленоч¬ная конденсация паров жидких металлов, для которых харак¬терна высокая теплопровод-
52ность.
При образовании пленки пар отделен от стенки. Принято считать, что температура поверхности пленки Тпл, обращенной к пару, равна температуре насыщения (Тпл = Т0).
При конденсации пара на вертикальной стенке (рис. 11.21) толщина стекающей пленки конденсата 5 увеличивается, начиная от верхней кромки стенки.
Режим течения конденсата определяется числом Рейнольдса: Яе = иср5/уж, где иср — средняя скорость течения пленки в рас¬сматриваемом сечении; 5 — толщина пленки.
Ламинарное течение наблюдается в верхней части пленки, когда толщина пленки и количество конденсата невелики.
При Яе > Яекр течение пленки становится турбулентным. Для кон¬денсации неподвижного пара принято считать Яекр = 400.
Для определения среднего коэффициента теплоотдачи на вер¬тикальной стенке или трубе, имеющих высоту к, при конденсации пара в условиях ламинарного течения пленки жидкости рекомендует¬ся следующее уравнение:
Хж § Гисп (рж ~ рп
к АТ уж где £т — коэффициент, учитывающий зависимость физических пара¬метров жидкости р, V от температуры: АТ = Т0 — Тс; £вол — коэффи¬циент, который учитывает наличие волнового характера движения конденсата в пленке, что было установлено П.Л. Капицей.
При этом £т определяется формулой:
где индексы «с» и «о» соответствуют температурам Тс и Т0. Коэффициент £вол зависит от числа Рейнольдса:
£вол = Re0•04 . (11.84)
В случае горизонтальной трубы коэффициент теплоотдачи рас¬считывается по формуле:
Хж § гисп (рж ~ рп
й АТ Vж
За определяющий линейный размер в этом случае принимается внеш¬ний диаметр трубы.
Значения параметров X, р и V в уравнениях (11.83) и (11.85) бе¬рутся при средней температуре: Тср = 0,5 (Т0 + Тс).
Содержание в паре неконденсирующихся газов существенно сни¬жает коэффициент теплоотдачи. Так, содержание 1 % воздуха в водя¬ном паре снижает коэффициент теплоотдачи на ~ 60 %, а 2 % — почти
в три раза. Это уменьшение объясняется накоплением у стенки не-конденсирующихся газов, чему способствует снижение парциального давления пара в парогазовой смеси. Пограничный слой с неконден-сирующимся газом создает дополнительное термическое сопротивле-ние.
Температурный напор АТ = Т0 — Тс в этом случае также сни¬жается, так как уменьшается температура насыщения Т0, соответству¬ющая парциальному давлению пара.
В промышленных конденсационных установках воздух из пара удаляется с помощью насосов.
12. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
Особенностью процесса теплообмена излучением является отсут-ствие непосредственного контакта тел в отличие от теплопроводности и конвективного теплопереноса.
Излучение (или лучеиспускание) — это процесс распространения электромагнитных волн, испускаемых телом при преобразовании внутренней энергии тела в лучистую энергию в результате внутри-молекулярных и внутриатомных взаимодействий различного рода.
Лучистой тепловой энергией является энергия, излучаемая от непрерывного электромагнитного поля в интервале длин волн:
X = =0,01 — 2000 мкм, которая включает:
ультрофиолетовое (0,01 — 0,4 мкм), видимое (0,4 — 0,8 мкм) и инфра-красное (или тепловое) излучение (0,8 — 2000 мкм).
Наибольший интерес для теплопередачи представляют тепловые лучи (0,8 — 40) мкм.
Количество излучаемой энергии зависит от физических свойств, температуры и состояния поверхности излучающего тела.
Лучеиспускание может быть непрерывным (0 < X > да) или селек¬тивным (происходит избирательное излучение в определенной об¬ласти длин волн). Оно также может быть диффузным, когда энергия излучается равномерно по всем направлениям, или направленным.
Перенос лучистой энергии — это процесс ее распространения, определяемый физическими свойствами среды и спектральным сос¬тавом излучения.
Поглощение — процесс превращения части лучистой энергии во внутреннюю энергию данного тела.
Отражение лучистой энергии от поверхности тела может быть диффузным (т. е. равномерным во всех направлениях) или зеркаль¬ным (в соответствии с законами геометрической оптики).
Совокупность процессов испускания, переноса, поглощения, от¬ражения и пропускания теплового излучения называют лучистым теплообменом.
Лучистый теплообмен между телами одинаковой температуры является термодинамически равновесным.
Излучение электромагнитных волн свойственно всем телам. Для большинства твердых и жидких тел спектр излучения непрерывный, что означает, что эти тела излучают (и поглощают) лучи всего спек¬тра длин волн.
Общее количество лучистой энергии, испускаемой телом в единицу времени, называется интегральным лучистым потоком (О, Вт).
Поток излучения, проходящий через единицу поверхности по всем направлениям полусферического пространства, является плот-
-л
ностью интегрального потока излучения (Е, Вт/м ):
Е = аО / dS, (12.1)
где dQ — элементарный поток излучения, испускаемый поверхностью
аз.
Излучение в узком интервале длин волн называют монохрома¬тическим излучением О,. Отношение плотности потока монохрома¬тического излучения (Е, = / аЗ) в малом интервале длин волн а, к
этому интервалу есть интенсивность или спектральная плотность монохроматического излучения У,:
Л = dЕ’k / АХ, Вт/м2-м.
Интегральное (в диапазоне длин волн X = 0 — да) и монохрома¬тическое излучения связаны соотношениями:
Е = | ЕхАХ и 2 = | .
0 0
Излучение, которое излучается телом и зависит только от свойств и темпера¬туры тела, называется собственным. Излучение, которое тело поглощает от внешнего источника излучения, назы¬вают падающим.
Закон сохранения энергии для падаю¬щего потока излучения 2пад имеет вид (рис. 12.1):
2пад = ОА + Оя + QD, (123)
где ОА — поглощенная часть энергии излучения; Оц — отраженная и Ов — соответственно прошедшая сквозь тело.
Поделив соотношение (12.3) на величину 2пад, получим:
А + Я + В = 1, (12.3, а)
где А = ОА/Опад; Я = 2я/2пад; В = 2в/2пад — соответственно коэффи¬циенты поглощения, отражения и пропускания.
Эти коэффициенты являются безразмерными величинами, кото¬рые характеризуют способность тела поглощать, отражать или про¬пускать тепловое излучение. В предельном случае имеем:
Я = 0; А = 0; В = 1 (абсолютно прозрачное для тепловых лучей или диатермическое [гречес. ^аШегше] тело);
Я = 1; А = 0; В = 0 (абсолютно белое или зеркальное тело);
Я = 0; А = 1; В = 0 (абсолютно черное тело).
В дальнейшем все величины, относящиеся к абсолютно черному телу, принято обозначать индексом «0», например Ао = 1.
Абсолютно черных, белых и прозрачных тел в природе не су-ществует. Для реальных тел коэффициенты А, Я и и заключены в диапазоне от 0 до 1. К абсолютно черному телу наиболее близки: сажа и бархат (А ~ 0,90 — 0,98), к абсолютно белому телу — полированные металлы (Я ~ 0,97). Одно- и двухатомные газы (02, N2, Н2, инертные газы) практически прозрачны для теплового излучения (А + Я ~ 0,
В ~ 1).
Большинство твердых и жидких тел не являются абсолютно чер¬ными телами, и для них А < 1.
Тела, у которых коэффициент поглощения 0 < А < 1 и пог-лощательная способность не за¬висит от длины волны падающего излучения, называются серыми телами. Большинство твердых тел можно рассматривать как серые тела и для многих из них выполняется условие: А + Я ~ 1 и и ~ 0.
Общая энергия, излучаемая телом, состоит из двух составляю¬щих: собственного излучения Е, зависящего от физической природы тела и его температуры, и отраженной лучистой энергии ЕЯ = ЯЕпад.
Сумма собственного и отраженного излучений носит название эф-фективного излучения Еэф (рис. 12.2):
Еэф = Е + ЕЯ = Е + ЯЕпад = Е + (1 — А)Епад . (124)
Лучистый перенос теплоты характеризуется результирующим излучением Ерез, которое определяется разностью между собствен¬ным излучением Е и поглощенным лучистым потоком (Епогл = АЕпад): Ерез = Е — АЕпад , (12.5)
или с учетом уравнений (12.4) и (12.5) имеем:
Ерез Еэф Епад . (12.6)
12.1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Излучение абсолютно черного тела подчиняется законам, кото-рые ранее были изложены в курсе общей физики.
Закон Планка.
Закон Планка устанавливает связь между спектральной плотностью потока излучения абсолютно черного тела /Хо , дли¬ной волны X и температурой Т:
Здесь с1 = 2пксо2 = 3,7418*10-16 Вт-м2; с2 = кео1к = 0,014387 м-К, где к = 6,62540-34 Дж^с — постоянная Планка; к = 1,3840-23 Дж/К — постоянная Больцмана; с0 — скорость света в вакууме.
Характер изменения УХо от X для разных значений Т приведен на рис. 12.3.
Спектральная плотность потока излучения растет с увеличением X и достигает максимального значения при длине волны Хмакс, которая зависит от температуры.
Зависимость Хмакс от температуры определяется формулой Вина (закон смещения):
Хмакс •Т = 2,898 мм К , т.е. Хмакс = 2,898/Т. (12.8)
Таким образом Хмакс обратно пропорциональна температуре
и с ростом температуры максимум смещается в область более корот-ких волн.
Подставив значение Хмакс из (12.8) в уравнение (12.7) можно оп¬ределить максимальную интенсивность излучения УХо макс (Вт/м ) при данной температуре:

Также при условии ХТ << с2 (ХТ < 0,2 с2) имеем формулу Вина.
Ло = ^Х-5 ехр(-С2 / ХТ) . (12.11)
В указанном диапозоне значений ХТ более простые формулы (12.10) и (12.11) позволяют получить хорошее согласие с законом Планка (12.7).
Закон Стефана-Больцмана.
Данный закон позволяет определить плотность лучистого потока Ео абсолютно черного тела путем интегрирования уравне-ния (12.7).
Исходя из закона Планка Стефаном и Больцманом показано, что
Ео определяется формулой:
¥
Ео = I Jя0dХ = о0Т4, (12.12)
0
где оо = 5,6686 10 Вт/(м К ) — константа излучения абсолютно черного тела.
В технических расчетах закон Стефана-Больцмана удобно при-менять в форме:
Е0 = Со (Т / 100)4,
где Со = оо 108 = 5,67 Вт/(м2К4) — коэффициент излучения абсо¬лютно черного тела.
Для серых тел, у которых интенсивность излучения меньше, чем у черных тел, при той же температуре Е < Ео. Отношение Е / Ео < 1 называют степенью черноты серого тела: £ = Е /Ео.
Пользуясь понятием степени черноты £, плотность лучистого по-тока для серого тела можно выразить следующим уравнением:
Е = £ Ео = £ Со (Т / 100)4 = С (Т/ 100)4, (12.13)
где С = £ Со — коэффициент излучения серого тела.
Закон Кирхгофа.
Закон Кирхгофа устанавливает связь между излучательной и поглощательной способностью тел.
Составим баланс лучистого теплообмена между параллельно рас-положенными неограниченными пластинами: серой 1, имеющей тем-пературу Г, и абсолютно черной 2 с температурой То (рис. 12.4).
Примем: Т > То.
Тогда количество теп¬лоты, которое передает се¬рое тело черному телу бу¬дет равно:
£рез = Е — Ео А, (12.14) где Е — плотность потока излучения серого тела, по¬глощенная абсолютно черным телом; ЕоА — плотность потока излучения абсолютно черного тела, поглощенная серым телом.
Отраженный от серого тела лучистый поток Ео (1 — А) полнос¬тью поглощается абсолютно черным телом. В условиях теплового равновесия пластин: Т = То и Ерез = 0.
Тогда из уравнения (12.14) получим:
Е / А = Ео. (12.15)
Уравнение (12.15) математически выражает закон Кирхгофа:
Отношение плотности потока излучения тела Е к его пог¬лощательной способности А одинаково для всех тел и равно плотности потока излучения абсолютно черного тела при той же температуре.
С учетом уравнений (12.15), (12.12) и (12.13) можно записать:
А = Е / Ео = £ . (12.16)
Таким образом коэффициент поглощения тела А равен степени его черноты 8.
Закон Ламберта.
Закон Ламберта позволяет определить значение плотности потока излучения в зависимости от его направления по отноше¬нию к излучающей поверхности тела.
Наибольшей плотностью об¬ладает поток излучения по нор¬мали к поверхности, его называют яркостью излучения и обознача¬ют Еп (рис. 12.5).
Плотность потока по осталь¬ным направлениям Еф, определя¬ется по формуле:
Еф = Еп cos ф, (12.17)
где ф- угол между направлением излучения и нормалью.
Ранее рассмотренный закон Стефана-Больцмана позволяет оп-ределить интегральную плотность излучения Е в полусферическое пространство по отношению к излучающей поверхности.
В соответствии с законом Ламберта рассчитывается плотность потока излучения в определенном направлении, определяемом углом ф (см.
В соответствии с законом Ламберта рассчитывается плотность потока излучения в определенном направлении, определяемом углом ф (см. рис. 12.5).
Показано, что поток излучения по нормали к поверхности Еп связан с интегральной полусферической плотностью потока излуче¬ния тела Е с учетом уравнения (12.13) следующим образом:
В соответствии с законом Ламберта количество энергии, излуча¬емое элементом поверхности тела 1 dF1 в направлении другого тела 2 равно: dQ2j = En cos j ■ dF1 ■ d©,
где © — телесный угол, под которым облучается тело 2. При этом:
S е .
© = —, причем S — излучающая поверхность тела 1 и r — расстояние r 2
между телами 1 и 2.
12.2. ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ
ТЕЛАМИ
12.2.1. Лучистый теплообмен между параллельными
пластинами
Рассмотрим теплообмен излучением между двумя серыми парал-лельными пластинами, разделенными прозрачной средой. Размеры пластин значительно больше расстояния между ними, так что излу¬чение одной из них будет полностью попадать на другую.
Обозначим: температуры пластин T1 и T2, коэффициенты погло¬щения А1 и А2; собственные излучения пластин, определяемые по закону Стефана-Больцмана, Е1 и Е 2; эффективные излучения пластин Е1эф и Е2эф; коэффициенты излучения С1 и С2. Полагаем, что T1 > T2.
Первая пластина излучает на вторую энергию; вторая пластина часть этой энергии поглощает, а часть отражает обратно на первую, где снова первая пластина часть этой энергии поглощает и часть излу¬чает обратно на вторую и т. д.
Суммарный поток излучения первой пластины, состоящий из собственного излучения Е\ и отраженного излучения второй пласти¬ны (1 — А1)Е2эф, находим с учетом уравнения (12.4):
Е1эф = E1 +(1 — A1)Е2эф . (1219)
Аналогично найдем суммарное излучение второй пластины:
Результирующее тепловое излучение, получаемое второй плас-тиной от первой пластины, находим из уравнения (Вт/м2):
Я = Е1эф — Е2эф • (12-21)
Подставляя значение Е1эф и Е2эф в выражение (12.21), с учетом уравнений (12.13), (12.16), произведя соответствующие преобразова¬ния, имеем:
= А2Е — АЕ2 = £2®1Со (Г1/100)4 -62®1Со (Т2/100)4
А1 + А2 — А1А2
Окончательно расчетную формулу для лучистого теплообмена между параллельными серыми пластинами получим в виде:
12.2.2. Лучистый теплообмен между телами, образующими
замкнутую систему
Описанным методом можно решить задачу определения лу¬чистого теплообмена между двумя серыми поверхностями в замкну¬том пространстве. Рассмотрим стационарный лучистый теплообмен
между телами 1 и 2, которые образуют замкнутую систему, причем степень черноты этих тел не зависит от температуры (рис. 12.6).
Обозначим температуру, поверхность и степень черноты внутрен¬него тела Т1, 5) и е1, а внешнего -Т2, 52 и £2. Примем, что Т1 > Т2. При произвольном расположении в пространстве тел, участвующих в лу¬чистом теплообмене, в отличие от параллельных пластин не вся лу¬чистая энергия, излучаемая одним те¬лом, падает на другое.
В рассматриваемом случае на внутреннее тело попадает доля лучис¬того потока внешнего тела йэфф, ко¬торая определяется угловым коэффи¬циентом излучения, или коэффици¬ентом облученности ф.
Остальная часть излучения, опре¬деляемая величиной (1- ф), падает на поверхность внешнего тела.
Эффективное излучение внутрен¬него тела включает собственное излучение и отраженное от внешнего тела (Вт):
Оэф=Е5+1 — А ЬОэф. (12 24)
Эффективное излучение внешнего тела включает собственное излучение, отраженное от внутреннего тела, и отраженного собственного излучения:
Q2эф = Е252 +(1 — А2 ) йэф +(1 — А2 )(1 — ф) Йэф (1225)
Величина теплообмена излучением в данном случае составит:
а=&ф — &Ф . (12.26)
С учетом выражений (12.13), (12.16) и (12.24), (12.25) решение для уравнения (12.26) принимает вид:
12.2.3. Экранирование тел
Чтобы уменьшить теплообмен, необходимо снизить температуру излучающего тела и уменьшить степень черноты тел. В тех же слу¬чаях, когда температуру изменить нельзя, для снижения лучистого теплообмена применяются экраны. Обычно экран представляет собой тонкий металлический лист с большой отражательной способностью.
Рассмотрим влияние экрана на простом примере. Возьмем две плоские параллельные поверхности и между ними поместим тон¬костенный экран, причем степени черноты экрана и поверхностей пластин одинаковы.
При отсутствии экрана теплообмен излучением между поверх¬ностями 1 и 2 определяется уравнением (12.22):
При наличии экрана интенсивность лучистого теплообмена меж¬ду этими поверхностями изменится. Вследствие стационарности про¬цесса потоки излучения, передаваемые от первой поверхности к экра¬ну и от экрана ко второй поверхности, будут одинаковы:
Подставим значение Тэ из уравнения (12.30) в (12.29) и получим:
Из уравнения (12.32) следует, что в случае одного экрана с 8э = 0,1 между поверхностями с 8 = 0,8 приведет к снижению лучистого теп-лообмена ~ в 13,7 раза.
12.3. ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ГАЗАХ
Излучение газообразных тел существенно отличается от излуче-ния твердых тел. Одноатомные и многие двухатомные газы (№2, 02, Н2, инертные газы) обладают очень низкой излучательной и погло¬
щательной способностью. Они практически являются прозрачными для тепловых лучей.
Ряд двух-, трехатомных (СО, СО2, Н2О, 802 и др.) и много¬атомных газов, имеющих несимметричные молекулы, обладает более значительной излучательной и поглощательной способностью.
Излучение газов происходит в результате изменения энергии ак-тивных молекул, обладающих значительной кинетической энергией при их столкновениях в процессе теплового движения. В результате столкновений может меняться энергия вращательного движения мо¬лекул, колебательного движения атомов и т. д. Изменения энергии атомов сопровождаются излучением определенных квантов энергии. При этом в интервале температуры до ~ 2800 °С излучение обуслов¬лено изменением энергии вращательного движения молекул и лежит в диапазоне длин волн 1- 30 мкм, т. е. в инфракрасной части спектра.
Излучение газов, образующихся при сгорании топлива, в различ-ных металлургических агрегатах имеет большое значение для работы этих устройств.
Обычно газовая среда в пламенных металлургических печах содержит смесь следующих газов: СО2, Н2О, N и 02. В ряде случаев дополнительно содержится СО, а в печах цветной металлургии при обжиге сульфидных материалов — 802.
При этом наибольшее значение имеет излучение СО2 и Н2О, так как остальные газы обычно имеют небольшие концентрации или прак¬тически не участвуют в процессе газового излучения (К2, 02).
Излучение газов в отличие от твердых тел имеет объемный и се-лективный (избирательный) характер, т. е. излучение (или поглоще¬ние) электромагнитных волн происходит лишь в отдельных участках спектра, соответствующих энергии определенного квантового пере¬хода и зависящего от природы газа (рис. 12.7).
В табл. 12.1 для ряда газов приведены границы полос спектра X, мкм, имеющих наибольшую спектральную плотность потока излу¬чения
Излучаемая газом энергия зависит от толщины газового слоя и концентрации излучающих молекул в объеме газа, которая оцени¬вается парциальным дав- т
Л :
лением газа рь а также от температуры.
При практических расчетах для определе¬ния плотности потока излучения газа обычно пользуются уравнением Стефана-Больцмана:
Ег = бг Со (Гг/100)4,
(12.33)
где £г — степень черноты газового слоя.
Т а б л и ц а 12.1
Основные полосы спектров излучения для ряда газов
Газ ^1 ^2 ^3 Х4 ^5 ^6
СО2 — 2,4-3,0 4,0-4,8 — — 12,5-16,5
СО — — 4,4-4,95 — — —
Н2О 1,7-2,3 2,3-3,4 4,8-8,5 6,9-7,6 8,0-9,5 15,8-23,2
802 — 3,8-4,0 4,1-4,6 6,9-7,6 8,0-9,5 15,8-23,2
Степень черноты слоя газа £г, как и излучаемая им энергия, также зависит от температуры, давления р^ и толщины слоя /, ко¬торую в случае произвольного направления излучения следует заме¬нить на среднюю (или эффективную) длину пути луча 1ср (м). Ве¬личину /ср можно рассчитать по формуле А. С. Невского:
/ср = 4 тэф V/£ , (12.34)
где V — объем газа, м3; £ — облучаемая поверхность, м2; тэф — коэффициент эффективности газа, зависящий от формы газового объема и степени его черноты.
При /ср < 1 м величина тэф = 0,85 и при /ср > 1 м — тэф = 0,9.
В случае углекислого газа и воды степень черноты £г находят по графикам, приведенным на рис. 12.8 — 12.10, которые построены по опытным данным (номограммы В.Н. Тимофеева и Э.С. Карасиной).
Для пользования этими графиками необходимо знать темпера¬туру газов Т °С и произведение парциального давления газа на сред¬нюю длину пути луча: р /ср (м-МПа).
Для водяного пара степень черноты вН20 зависит от рн2о и /ср различным образом, поэтому найденную величину вН20 по графику на рис. дополнительно необходимо умножить на поправочный коэф¬фициент рН20, определенный с учетом парциального давления пара на рис. 12.10.

Рис. 12.8. Зависимость степени черноты вСО2 = /(р/ср, Т) для
углекислого газа
Для смеси углекислого газа и паров воды степень черноты на¬ходят по формуле:
£г,см = £СО2 + £Ы20 — £co2■£н2O,
где последний член уравнения учитывает взаимопоглощение в ре-зультате частичного наложения полос излучения и поглощения в спектрах С02 и Ы20. Следует отметить, что применение для расчетов излучения газов закона Стефана — Больцмана носит формальный характер, так как интегральная степень черноты газов £г очень заметно зависит от температуры (в отличие от твердых тел).
По этой причине излучательная способность газов не подчиня¬ется закону Стефана-Больцмана.
Установлено, что излучение водяного пара пропорционально ~Т 3, а излучение углекислого газа соответственно — 1 .

Рис. 12.9. Зависимость степени черноты £Н2О = /(р7ср, Т) для
водяного пара
Однако такой метод подсчета часто применяется в практических расчетах в целях унификации методики расчета лучистого теплооб¬мена для различных видов тел. В реальных условиях лучистого теп¬лообмена между газом и окружающей его поверхностью твердого тела (стенкой) необходимо учитывать не только излучение газов, но и количества тепла, отраженного поверхностью тела и поглощенного газом. Формула для практических расчетов лучистого теплообмена между газами и облучаемой поверхностью имеет следующий вид:
где Тг, Тс — температуры газа и стенки; £с — степень черноты стенки при Т = Тс; £гс, £гг — степень черноты газа при Т = Тс и Т = Тг.
Введем понятие эффективной степени черноты стенки £сэф:
12.4.ОСОБЕННОСТИ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ
В МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИХ ПЕЧАХ
Основные технико-экономические показатели работы высоко-температурных электрических или пламенных металлургических пе¬чей (их производительность, расход тепловой энергии, время нагрева или плавления металла) во многом определяются организацией теп¬лообмена излучением. Более того, если тепловая обработка ведется в вакууме, то этот вид теплообмена в электропечах сопротивления и дуговых печах практически является единственным, обеспечивающим передачу теплоты нагреваемому металлу. В пламенных печах и в электропечах с рециркуляцией газа роль теплообмена излучением благодаря развитию конвекции несколько снижается, но даже в этих условиях остается высокой. В печах для нагрева и плавления черных металлов доля теплообмена излучением в общем тепловом балансе может достигать 70 — 90 %. Формирование потоков излучения в ра¬бочем пространстве металлургических печей определяется темпера¬турами излучателей и их радиационными свойствами.
Некоторые из этих параметров могут быть целенаправленно из-менены. Так, обогащая дутье кислородом, можно поднять темпера¬туру в факеле. Покрывая нагреваемый металл специальными крас¬ками, меняют радиационные свойства его поверхности.
Конструируя элементы рабочего пространства печей, добива¬ются улучшения этих характеристик. Следует также отметить, что последние существенным образом зависят от степени запыленности движущегося в печи газа. В свою очередь содержание пыли в газе определяется нетолько видом топлива (например, пылеугольным), но
и состоянием обрабатываемого материала (кусковой, мелкодисперс¬ный и т. п.), условиями его загрузки, перемещения, выгрузки и др.
Современное состояние теории теплообмена излучением позво¬ляет учитывать особенности, проявляющиеся при проектировании ме-таллургических печей и тепловых агрегатов.
12.4.1. Теплообмен излучением в пламенных печах
В подавляющем большинстве металлургических печей исполь¬зуют для получения тепловой энергии топливо разных видов, про¬дукты сгорания которого и являются основными энергоносителями. Теплообмен между ними и подвергаемым тепловой обработке мате¬риалом определяет многие показатели работы печи и качество полу¬чаемого продукта. Помимо газов, в процессах теплообмена излуче¬нием участвует и футеровка. Обычно принимают, что кладка не пог¬лощает падающего потока излучением и не передает эту теплоту в окружающее печь пространство. Фактически через кладку печи всег¬да теряется теплота, но при этом считают, что потери теплоты клад¬кой компенсируются теплоотдачей газов за счет явлений конвекции. В связи с этим при теплообмене излучением кладке отводится роль посредника-переизлучателя теплоты от газов через кладку на нагре-ваемый материал.
Впервые теплообмен излучением в рабочем пространстве печей был проанализирован В.Н. Тимофеевым при следующих допущениях: температуры и степени черноты в объеме печи и по поверхностям ма-териала и кладки сохраняются постоянными, для всех элементов сис¬темы справедливы законы Стефана-Больцмана и Ламберта.
Рассматриваемая система состоит из трех элементов: газ, металл и кладка (рис. 12.11). С учетом ранее изложенного, необходимо опре-делить плотность результирующего потока излучения на металл от печных газов, имея в виду косвенную передачу теплового излучения,
обусловленного наличием кладки, без учета передачи теплоты от газа к металлу посредством конвекции.

Рис. 12.11. Схема теплообмена в пламенной печи

Для решения поставленной задачи необходимо записать выра-жение для результирующего потока излучения на металл 0резм, пред-ставив его как разность потоков падающего 0пад.м и собственного бсоб.м излучений.
Падающее излучение — это эффективное излучение газа Qэ^т и кладки Оэф.к, дошедшее до металла.
При этом эффективное излучение кладки доходит до металла в соответствии с угловым коэффициентом фкм и радиационными свой-ствами газа:
брез.м _ £м бэф.г + £м бэф.к ^к.м (1 — ^г ) — бсоб.м , (12.39)
где £м и £г — степень черноты металла и газа.
Величина потока эффективного излучения газа может быть опи-сана законом Стефана-Больцмана:
0эф.г = егСоТ4 . (12.40)
Для оценки потока эффективного излучения кладки необходимо составить уравнение при условии ^рез,к = 0, т. е. результирующий по-ток излучения на кладку равен нулю. Кладка играет роль переизлу-
чателя, т. е. она условно обладает зеркальным отражением, следова¬тельно, потоки падающего и эффективного излучений равны. Падаю¬щий поток излучения включает поток эффективного излучения газа на кладку, поток эффективного излучения металла, ослабленного про¬хождением слоя газа, и поток эффективного излучения кладки на кладку, также ослабленного слоем газа. Следовательно, уравнение имеет вид:
бэф.г + бэф.м^м.к 0- —^г ) + бэф.к^к.к 0- — ^г ) — бэф.к _ 0 , или с учетом того, что (ркк _ 1 — ^к м (замкнутая система): фм.к = 1.
Следовательно, имеем:
бэф.г + бэф.м (1 —^г )+ бэф.к (1 — ^к.м )(1 — ^г ) — бэф.к _ 0 . (12.41)
Откуда получим:
^ _ бэф.г + бэф.м(1 — ^г )
Уэфк _ 1—(1—^м )(1—вг )
В выражении (12.42) появилась величина потока эффективного излучения металла Qэ§ж, которая требует определения.
Из анализа алгебраического соотношения лучистых потоков (см. рис. 12.11) следует:
бэф.м _ бсоб.м + бэф.г (1 — ^г )+ бэф.к ^к.м (1 — ^г ) ‘ (1 — £м ). (12.43)
Величина (1 — £м) определяет долю потоков отраженного от металла излучения.
Решение уравнений (12.39) — (12.40) и (12.42) — (12.43) с учетом принципа взаимности (£м = фкм £к) имеет вид:
<2рез.м _ О, к.м{(Гг/100)4 — (Ги/100)4 } ^, (12.44)
где Сг. км — приведенный коэффициент излучения от газов на металл с учетом указанного выше влияния кладки и свода печи в процессе теп¬лообмена излучением. Эту величину можно представить в виде:
Сг к.м _ £м К Со , (12.45)
В технической литературе эта формула часто представляется иначе:
ю +1 — 8г
Ю + в (1 — 8г )/ 8г ’
где в = 8м + 8г (1 — 8м) и ю = £к / £м — степень развития кладки печи.
В некоторых теплотехнических задачах, например, для оценки применимости тех или иных огнеупорных материалов, необходимо знать температуру кладки Тк. В этом случае можно рекомендовать формулу В.Н. Тимофеева:
Таким образом, увеличение потока результирующего излучения на металл может быть достигнуто за счет изменения степени черноты газов и степени развития кладки.
12.4.2. Излучение пламени и карбюризация факела
Пути интенсификации теплообмена излучением можно опреде-лить, анализируя, к примеру, уравнения (12.44) — (12.49), применимые для расчета плотности потока излучения от нагретых газов к твердым поверхностям.
Очевидно, что лучевоспринимающая поверхность не всегда мо-жет быть увеличена. Ее размеры определяются особенностью кон-струкции печи или поверхностью нагреваемого в печи материала, поэтому эта величина для конкретной конструкции не может быть изменена.
Возможности воздействия на температуры твердых поверхнос-тей (внутренней поверхности кладки и поверхности нагреваемого ма¬
териала) также ограничены, так как они в первую очередь опреде¬ляются технологией тепловой обработки и жестко связаны с требо¬ваниями по качеству нагрева или стойкости огнеупорной кладки.
Теплообмен излучением может быть интенсифицирован за счет повышения температуры газов. Так как плотность потока излучения зависит от Тг в четвертой степени, то при подъеме температуры газов создается существенный фактор активизации лучистого теплообмена.
Повысить Тг можно разными способами: использованием дутья, обогащенного кислородом; применением для горения подогретых га¬зов и выбором оптимального коэффициента расхода воздуха.
Таким образом, способов повышения температуры газов сущес-твует много. Но одни из них не могут быть применены по экономи¬ческим соображениям, например, вследствие дефицита технического кислорода; другие требуют усложнения конструкции печи и в конеч¬ном итоге приводят к повышению эксплуатационных расходов. Сле¬дует также отметить, что повышать температуру газов можно до из¬вестных пределов, определяемых технологией нагрева, типом при¬меняемых огнеупоров и др.
Увеличить интенсивность теплообмена можно также за счет по-вышения приведенного коэффициента излучения путем повышения степени черноты окружающих стенок и газов. Обычно £к ~ 0,8 для огнеупорных изделий и окисленных черных металлов, поэтому ее практически нельзя изменить. Степень черноты газов £г — функция парциального давления газов, эффективной длины луча и темпе¬ратуры газов. Парциальное давление газов зависит от состава топли¬ва, условий его сжигания, состояния кладки и условий эксплутации печи. За счет улучшения условий сжигания топлива, установления оптимального коэффициента расхода воздуха, введения подогрева дутья, применения кислорода в дутье можно повысить парциальное давление излучающих газов. Но это повышение имеет предел и зна¬чительного увеличения степени черноты газов также добиться нель¬зя. Невозможно увеличить эффективную длину лучей в работающих печах, так как это должно сопровождаться изменением размеров ра¬бочего пространства.
Степень черноты продуктов сгорания доменного, коксового, природного газов и коксодоменных смесей относительно невелика (при обычных условиях сжигания £г ~ 0,10 — 0,25).
В связи с этим повышение степени черноты продуктов сгорания промышленных газов осуществляют карбюризацией факела, в печи одновременно с топливом, бедным углеводородами, сжигают в не¬большом количестве и топливо, богатое углеводородами, например мазут или смолу.
В зависимости от конкретных условий добавки последних составляют 3-5 % от общего количества химической энергии топлива.
Сжигание мазута или смолы сопровождается пиролизом (раз¬ложением) углеводородов, при котором выделяется большое коли¬чество мельчайших частичек сажистого углерода диаметром 0,5-3 мкм (их число в 1 см может достигать нескольких миллионов). Движущиеся в газовом потоке частицы очень быстро прогреваются до температуры, близкой к температуре потока, и затем сгорают. Естественно, что нагретые частицы сами начинают излучать тепло¬вую энергию.
Так как спектры твердых тел сплошные, а не полосчатые, как у газов, то степень черноты газового потока, содержащего большое количество сажистых частичек, существенно возрастает (в 3-4 раза).
Для карбюризации можно использовать и природный газ, создав условия его нагрева при низкой концентрации кислорода до > 500 °С. При таком нагреве часть природного газа — метана разлагается с обра¬зованием сажистого углерода и водорода по реакции:
СН4 = С + 2Н2.
При изменении условий разложения (реформирования) метана (температуры, состава газовой фазы, времени и других факторов) меняются не только размеры, но и концентрация сажистых частичек.
Наибольшей излучательной способностью сажистые частицы об-ладают в видимой и ближней инфракрасной частях спектра. Она зави-сит от эффективной толщины газового слоя /ср и концентрации сажис-тых частичек углерода (С). По данным В.А. Кривандина степень чер-ноты пламени, равная 0,95, достигается при следующих значениях /ср и С:
/ср, м. 0,3 0,5 0,7 1,0 С, г/м3 2,7 1,6 1,1 0,8.
Если С/ср > 1 г/м2, то степень черноты газового потока, насыщенного сажистым углеродом, составит:
ег = 1 — exp (- 0,8 C • /ср). (12.50)
Исследованиями установлено, что для факелов мартеновских пе-чей предельно целесообразная величина С/ср составляет 2 г/м2. При больших значениях этой величины ухудшаются показатели эффектив-ности использования топлива.
Лучистый тепловой поток между излучающим пламенем факела и поверхностью камеры сгорания можно также рассчитать по фор-муле:
где Тпл — температура пламени; Тс — температура стенки камеры сгорания; Sp — радиационная (облучаемая) поверхность камеры и £пр = £/£с — приведенная степень черноты.
Степень черноты светящегося пламени можно подсчитать по формуле:
£г = 1 — exp (- K г • p/ср), (12.52)
где Кг — коэффициент ослабления излучения газа в камере сгорания; р — общее давление и /ср — средняя длина луча.
Величина Кг определяется формулой:
где увоз — коэффициент избытка воздуха в топливной смеси; Тотр — температура отработанных газов (газообразных продуктов горения топлива); гН20, гС02 — объемные доли паров воды и углекислого газа в продуктах горения топлива; §С, §н — массовые доли углерода и водо¬рода в топливе.
12.5. СЛОЖНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
В рабочем пространстве промышленных печей тепло к нагре-ваемому изделию передается не только за счет конвективного теп-лообмена, но и в значительной степени за счет лучистого тепло¬обмена между печными газами и нагреваемой поверхностью, при¬чем, как уже отмечалось ранее, в зависимости от температуры и аэро¬динамики газового потока, доля последней может достигать 60-90 %.
В практических расчетах принимается, что тепловые эффекты ра-диационного (лучистого) и конвективного теплообмена можно сум-мировать.
Для удобства расчетные формулы представляют в одинаковой форме в соответствии с уравнением теплообмена Ньютона-Рихмана (7.11):
Я = «сум(Т — ТС ), (12.54)
где асум = аконв + аизл — суммарный коэффициент теплоотдачи, Вт/м •К; аконв — коэффициент теплоотдачи конвективного теплооб¬мена, который оценивается с учетом гидродинамики потока газа (см. гл. 11); аизл — коэффициент теплоотдачи излучением, определяемый по формуле:
где яизл определяется формулами, приведенными ранее в разделах
12.1. — 12.4.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Телегин А.С., Швыдкий В.С., Ярошенко Ю.Г. Тепломассопе-ренос. М.: ИКЦ «Академкнига», 2002. 455 с.
2. Теплотехника металлургического производства. Т.1. Теоретичес¬кие основы: Учеб. пособие для вузов/ В.А. Кривандин, В.А.Арутюнов, С.А. Белоусов и др. М.: «МИСИС», 2002. 608 с.
3. Теплотехника/В.Н. Луканин, М.Г. Шатров, Г.М. Камфер и др.;
Под ред. В.Н. Луканина. М.: Высш. шк., 2000. 671 с.
4. Сладков И.Б. Тепло- и массоперенос: Учеб. пособие Л.: Изд-во ЛГТУ, 1991. 104 с.
5. Теплотехника/А.П. Баскаков, Б.В. Берг, О.К. Витт и др.; Под ред. А.П. Баскакова. М.: Энергоиздат, 1991. 224 с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидроди¬намика. М.: Наука, 1988. 733 с.
7. Теплотехника/А.М. Архаров, С.Н. Исаев, И.А. Кожинов и др.;
Под ред. В.И. Крутова. М.: Машиностроение, 1986. 419 с.
8. Чечеткин А.В., Занемонец Н.А. Теплотехника. М.: Высш. шк., 1986. 344 с.
9. Чугаев Р.Р. Гидравлика. М.: Госэнергоиздат, 1982.
10. Исаченко В.П., Осипова В.А.,Сукомел А.С. Теплопередача. М.: Энергия, 1981. 486 с.
11. Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача. М.: Высш. шк., 1980. 496 с.
12. Теория тепломассообмена/ С.Н. Исаев, И.А. Кожинов, В.И. Кофанов и др.; Под ред. А.И. Леонтьева. М.: Высш. шк., 1979. 495 с.
13. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1977. 343 с.
14. Бухбиндер А.И. Теория потоков. Л.: Изд-во ЛПИ, 1973. 218 с.
15. Бухбиндер А.И., Зайцев В.А., Сладков И.Б., Юркинский В.П. Теория потоков: Сб. задач и примеров. Л.: Изд-во ЛПИ, 1976. 90 с.
16. Основы теории подобия и моделирования. Терминология /Под ред. В. А. Веникова. М: Наука, 1973. 22 с.
Юркинский Владимир Павлович
Сладков Игорь Борисович
ТЕПЛОФИЗИКА
Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, т. 2; 95 3005 — учебная литература
Подписано в печать 20.05.2008. Формат 60×84/16 Печать цифровая
Усл. печ. л. 8,75. Уч.-изд. л. 8,75. Тираж 130. Заказ
Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором
в цифровом типографском центре Издательства Политехнического
университета:
195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.
Тел. (812) 540-40-14
Тел./факс: (812) 927-57-76